2016年12月25日日曜日

161225

Carlitz-Riordan q-Catalan number(1)

Handbook of Enumerative Combinatorics のDefinition 14.10.19 によれば、
Carlitz-Riordan q-Catalan number C_n(q) は次のように定義される。

C_{n + 1}(q) = Sum_{k = 0..n} q^k * C_k(q) * C_{n - k}(q)
with C_0(q) = 1.

C_n(q) を順番に求めると次のようになる。
C_1(q) = 1 * C_0(q) * C_0(q) = 1,
C_2(q) = 1 * C_0(q) * C_1(q) + q * C_1(q) * C_0(q) = q + 1,
C_3(q) = 1 * C_0(q) * C_2(q) + q * C_1(q) * C_1(q) + q^2 * C_2(q) * C_0(q) = q^3 + q^2 + 2q + 1,

なお、C_1(q), C_2(q), … , C_10(q) までが、
http://www.math.uiuc.edu/~llpku/qtCatalan/qCatalan.html
に載っている。

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