191025

Ruby


The normalized Apéry-like number Jtilde_k(n)

Jtilde_1(0), Jtilde_1(1), Jtilde_1(2), ...
Jtilde_2(0), Jtilde_2(1), Jtilde_2(2), ...
...
のように出力してみた。

def f(n)
  return 1 if n < 2
  (1..n).inject(:*)
end

def Jtilde(k, n)
  return 0 if k == 0
  return (2r ** n * f(n)) ** 2 / f(2 * n + 1) if k == 1
  if n == 0
    return 1 if k == 2
    return 0
  end
  if n == 1
    return 3r / 4 if k == 2
    return 1      if k == 3 || k == 4
    return 0
  end
  ((8r * n * n - 8 * n + 3) * Jtilde(k, n - 1) - 4 * (n - 1) ** 2 * Jtilde(k, n - 2) + 4 * Jtilde(k - 2, n - 1)) / (4 * n * n)
end

(1..14).each{|i| p [i, (0..6).map{|j| Jtilde(i, j)}]}

出力結果
[1, [(1/1), (2/3), (8/15), (16/35), (128/315), (256/693), (1024/3003)]]
[2, [1, (3/4), (41/64), (147/256), (8649/16384), (32307/65536), (487889/1048576)]]
[3, [0, 1, (65/48), (13247/8640), (704707/430080), (660278641/387072000), (357852111131/204374016000)]]
[4, [0, 1, (11/8), (907/576), (1739/1024), (6567221/3686400), (54281321/29491200)]]
[5, [0, 0, (1/4), (109/216), (101717/138240), (4557449/4838400), (15689290781/13934592000)]]
[6, [0, 0, (1/4), (73/144), (3419/4608), (29273/30720), (151587391/132710400)]]
[7, [0, 0, (0/1), (1/36), (515/6912), (76667/576000), (115560397/580608000)]]
[8, [0, 0, (0/1), (1/36), (43/576), (15389/115200), (1659311/8294400)]]
[9, [0, 0, (0/1), (0/1), (1/576), (251/43200), (254977/20736000)]]
[10, [0, 0, (0/1), (0/1), (1/576), (67/11520), (34061/2764800)]]
[11, [0, 0, (0/1), (0/1), (0/1), (1/14400), (1733/6220800)]]
[12, [0, 0, (0/1), (0/1), (0/1), (1/14400), (289/1036800)]]
[13, [0, 0, (0/1), (0/1), (0/1), (0/1), (1/518400)]]
[14, [0, 0, (0/1), (0/1), (0/1), (0/1), (1/518400)]]

191023(2)

PARI


Lehmer's Second Interesting Series(2)

A180875 に載せた式を確認してみる。

(01:34) gp > N=20; x='x+O('x^N);
(01:35) gp > Vec(serlaplace(2*(asin(exp(x/2)/sqrt(2))-Pi/4)*sqrt(exp(x)/(2-exp(x))^3)+exp(x)/(2-exp(x))))
%2 = [1.0000000000000000000000000000000000000, 3.0000000000000000000000000000000000000, 11.000000000000000000000000000000000000, 55.000000000000000000000000000000000000, 355.00000000000000000000000000000000000, 2807.0000000000000000000000000000000000, 26259.000000000000000000000000000000000, 283623.00000000000000000000000000000000, 3473315.0000000000000000000000000000000, 47552791.000000000000000000000000000000, 719718067.00000000000000000000000000000, 11932268231.000000000000000000000000000, 215053088835.00000000000000000000000000, 4186305575415.0000000000000000000000000, 87534887434835.000000000000000000000000, 1956680617267879.0000000000000000000000, 46561960552921315.000000000000000000000, 1175204650272267479.0000000000000000000, 31357650670190565363.000000000000000000, 881958890078887314567.00000000000000000]

191023

PARI


Lehmer's Second Interesting Series(1)

S0(2) = 1 * π/2 + 1,
S1(2) = 2 * π/2 + 3,
S2(2) = 7 * π/2 + 11,
S3(2) = 35 * π/2 + 55,
...
となるが、
数列　1, 2, 7, 35, ...
と
数列　1, 3, 11, 55, ...
を出力してみた。

(01:26) gp > N=20; x='x+O('x^N); f=sqrt(exp(x)/(2-exp(x))); Vec(serlaplace(f/(2-exp(x))))
%1 = [1, 2, 7, 35, 226, 1787, 16717, 180560, 2211181, 30273047, 458186752, 7596317885, 136907048461, 2665084902482, 55726440112987, 1245661569161135, 29642264728189066, 748158516941653967, 19962900431638852297, 561472467839585937560]
(01:26) gp > Vec(serlaplace(deriv(f*intformal(f))))
%2 = [1, 3, 11, 55, 355, 2807, 26259, 283623, 3473315, 47552791, 719718067, 11932268231, 215053088835, 4186305575415, 87534887434835, 1956680617267879, 46561960552921315, 1175204650272267479, 31357650670190565363, 881958890078887314567]
(01:26) gp >

191006

Ruby


604937061729 の秘密

twitter で
666666 = 604937 + 61729
√604937061729 = 777777
を見かけたので、他にも探してみた。

def A(m, d, n)
  str = (n * n).to_s
  s = str.size
  (0..s - 2).each{|i|
    j, k = str[0..i].to_i, str[i + 1..-1].to_i
    if (j + k).to_s.split('').uniq.size <= m
      puts "#{n}^2 = #{str.rjust(2 * d)},"
      puts "  #{j + k} = #{j.to_s.rjust(i + 1 + 2 * d - s)} + #{k.to_s.rjust(s - i - 1)}"
    end
  }
end

(1..27).each{|i|
  k = (10 ** i - 1) / 9
  (1..9).each{|j|
    A(1, i, j * k)
  }
}

出力結果
4^2 = 16,
  7 = 1 + 6
5^2 = 25,
  7 = 2 + 5
6^2 = 36,
  9 = 3 + 6
9^2 = 81,
  9 = 8 + 1
11^2 =  121,
  22 =  1 + 21
22^2 =  484,
  88 =  4 + 84
33^2 = 1089,
  99 = 10 + 89
44^2 = 1936,
  55 = 19 + 36
55^2 = 3025,
  55 = 30 + 25
66^2 = 4356,
  99 = 43 + 56
77^2 = 5929,
  88 = 59 + 29
99^2 = 9801,
  99 = 98 +  1
111^2 =  12321,
  333 =  12 + 321
222^2 =  49284,
  333 =  49 + 284
333^2 = 110889,
  999 = 110 + 889
444^2 = 197136,
  333 = 197 + 136
555^2 = 308025,
  333 = 308 +  25
666^2 = 443556,
  999 = 443 + 556
999^2 = 998001,
  999 = 998 +   1
1111^2 =  1234321,
  4444 =  123 + 4321
2222^2 =  4937284,
  7777 =  493 + 7284
3333^2 = 11108889,
  9999 = 1110 + 8889
6666^2 = 44435556,
  9999 = 4443 + 5556
7777^2 = 60481729,
  7777 = 6048 + 1729
9999^2 = 99980001,
  9999 = 9998 +    1
11111^2 =  123454321,
  55555 =  1234 + 54321
22222^2 =  493817284,
  22222 =  4938 + 17284
33333^2 = 1111088889,
  99999 = 11110 + 88889
44444^2 = 1975269136,
  88888 = 19752 + 69136
55555^2 = 3086358025,
  88888 = 30863 + 58025
66666^2 = 4444355556,
  99999 = 44443 + 55556
99999^2 = 9999800001,
  99999 = 99998 +     1
111111^2 =  12345654321,
  666666 =  12345 + 654321
222222^2 =  49382617284,
  666666 =  49382 + 617284
333333^2 = 111110888889,
  999999 = 111110 + 888889
444444^2 = 197530469136,
  666666 = 197530 + 469136
555555^2 = 308641358025,
  666666 = 308641 + 358025
666666^2 = 444443555556,
  999999 = 444443 + 555556
777777^2 = 604937061729,
  666666 = 604937 +  61729
999999^2 = 999998000001,
  999999 = 999998 +      1
1111111^2 =  1234567654321,
  7777777 =  123456 + 7654321
2222222^2 =  4938270617284,
  1111111 =  493827 +  617284
3333333^2 = 11111108888889,
  9999999 = 1111110 + 8888889
4444444^2 = 19753082469136,
  4444444 = 1975308 + 2469136
5555555^2 = 30864191358025,
  4444444 = 3086419 + 1358025
6666666^2 = 44444435555556,
  9999999 = 4444443 + 5555556
9999999^2 = 99999980000001,
  9999999 = 9999998 +       1
11111111^2 =  123456787654321,
  88888888 =  1234567 + 87654321
22222222^2 =  493827150617284,
  55555555 =  4938271 + 50617284
33333333^2 = 1111111088888889,
  99999999 = 11111110 + 88888889
44444444^2 = 1975308602469136,
  22222222 = 19753086 +  2469136
66666666^2 = 4444444355555556,
  99999999 = 44444443 + 55555556
88888888^2 = 7901234409876544,
  88888888 = 79012344 +  9876544
99999999^2 = 9999999800000001,
  99999999 = 99999998 +        1
111111111^2 =  12345678987654321,
  999999999 =  12345678 + 987654321
222222222^2 =  49382715950617284,
  999999999 =  49382715 + 950617284
333333333^2 = 111111110888888889,
  999999999 = 111111110 + 888888889
444444444^2 = 197530863802469136,
  999999999 = 197530863 + 802469136
555555555^2 = 308641974691358025,
  999999999 = 308641974 + 691358025
666666666^2 = 444444443555555556,
  999999999 = 444444443 + 555555556
777777777^2 = 604938270395061729,
  999999999 = 604938270 + 395061729
888888888^2 = 790123455209876544,
  999999999 = 790123455 + 209876544
999999999^2 = 999999998000000001,
  999999999 = 999999998 +         1
1111111111^2 =  1234567900987654321,
  1111111111 =  123456790 +  987654321
2222222222^2 =  4938271603950617284,
  4444444444 =  493827160 + 3950617284
3333333333^2 = 11111111108888888889,
  9999999999 = 1111111110 + 8888888889
4444444444^2 = 19753086415802469136,
  7777777777 = 1975308641 + 5802469136
5555555555^2 = 30864197524691358025,
  7777777777 = 3086419752 + 4691358025
6666666666^2 = 44444444435555555556,
  9999999999 = 4444444443 + 5555555556
9999999999^2 = 99999999980000000001,
  9999999999 = 9999999998 +          1
11111111111^2 =  123456790120987654321,
  22222222222 =  1234567901 + 20987654321
22222222222^2 =  493827160483950617284,
  88888888888 =  4938271604 + 83950617284
33333333333^2 = 1111111111088888888889,
  99999999999 = 11111111110 + 88888888889
44444444444^2 = 1975308641935802469136,
  55555555555 = 19753086419 + 35802469136
55555555555^2 = 3086419753024691358025,
  55555555555 = 30864197530 + 24691358025
66666666666^2 = 4444444444355555555556,
  99999999999 = 44444444443 + 55555555556
77777777777^2 = 6049382715928395061729,
  88888888888 = 60493827159 + 28395061729
99999999999^2 = 9999999999800000000001,
  99999999999 = 99999999998 +           1
111111111111^2 =  12345679012320987654321,
  333333333333 =  12345679012 + 320987654321
222222222222^2 =  49382716049283950617284,
  333333333333 =  49382716049 + 283950617284
333333333333^2 = 111111111110888888888889,
  999999999999 = 111111111110 + 888888888889
444444444444^2 = 197530864197135802469136,
  333333333333 = 197530864197 + 135802469136
555555555555^2 = 308641975308024691358025,
  333333333333 = 308641975308 +  24691358025
666666666666^2 = 444444444443555555555556,
  999999999999 = 444444444443 + 555555555556
999999999999^2 = 999999999998000000000001,
  999999999999 = 999999999998 +            1
1111111111111^2 =  1234567901234320987654321,
  4444444444444 =  123456790123 + 4320987654321
2222222222222^2 =  4938271604937283950617284,
  7777777777777 =  493827160493 + 7283950617284
3333333333333^2 = 11111111111108888888888889,
  9999999999999 = 1111111111110 + 8888888888889
6666666666666^2 = 44444444444435555555555556,
  9999999999999 = 4444444444443 + 5555555555556
7777777777777^2 = 60493827160481728395061729,
  7777777777777 = 6049382716048 + 1728395061729
9999999999999^2 = 99999999999980000000000001,
  9999999999999 = 9999999999998 +             1
11111111111111^2 =  123456790123454320987654321,
  55555555555555 =  1234567901234 + 54320987654321
22222222222222^2 =  493827160493817283950617284,
  22222222222222 =  4938271604938 + 17283950617284
33333333333333^2 = 1111111111111088888888888889,
  99999999999999 = 11111111111110 + 88888888888889
44444444444444^2 = 1975308641975269135802469136,
  88888888888888 = 19753086419752 + 69135802469136
55555555555555^2 = 3086419753086358024691358025,
  88888888888888 = 30864197530863 + 58024691358025
66666666666666^2 = 4444444444444355555555555556,
  99999999999999 = 44444444444443 + 55555555555556
99999999999999^2 = 9999999999999800000000000001,
  99999999999999 = 99999999999998 +              1
111111111111111^2 =  12345679012345654320987654321,
  666666666666666 =  12345679012345 + 654320987654321
222222222222222^2 =  49382716049382617283950617284,
  666666666666666 =  49382716049382 + 617283950617284
333333333333333^2 = 111111111111110888888888888889,
  999999999999999 = 111111111111110 + 888888888888889
444444444444444^2 = 197530864197530469135802469136,
  666666666666666 = 197530864197530 + 469135802469136
555555555555555^2 = 308641975308641358024691358025,
  666666666666666 = 308641975308641 + 358024691358025
666666666666666^2 = 444444444444443555555555555556,
  999999999999999 = 444444444444443 + 555555555555556
777777777777777^2 = 604938271604937061728395061729,
  666666666666666 = 604938271604937 +  61728395061729
999999999999999^2 = 999999999999998000000000000001,
  999999999999999 = 999999999999998 +               1
1111111111111111^2 =  1234567901234567654320987654321,
  7777777777777777 =  123456790123456 + 7654320987654321
2222222222222222^2 =  4938271604938270617283950617284,
  1111111111111111 =  493827160493827 +  617283950617284
3333333333333333^2 = 11111111111111108888888888888889,
  9999999999999999 = 1111111111111110 + 8888888888888889
4444444444444444^2 = 19753086419753082469135802469136,
  4444444444444444 = 1975308641975308 + 2469135802469136
5555555555555555^2 = 30864197530864191358024691358025,
  4444444444444444 = 3086419753086419 + 1358024691358025
6666666666666666^2 = 44444444444444435555555555555556,
  9999999999999999 = 4444444444444443 + 5555555555555556
9999999999999999^2 = 99999999999999980000000000000001,
  9999999999999999 = 9999999999999998 +                1
11111111111111111^2 =  123456790123456787654320987654321,
  88888888888888888 =  1234567901234567 + 87654320987654321
22222222222222222^2 =  493827160493827150617283950617284,
  55555555555555555 =  4938271604938271 + 50617283950617284
33333333333333333^2 = 1111111111111111088888888888888889,
  99999999999999999 = 11111111111111110 + 88888888888888889
44444444444444444^2 = 1975308641975308602469135802469136,
  22222222222222222 = 19753086419753086 +  2469135802469136
66666666666666666^2 = 4444444444444444355555555555555556,
  99999999999999999 = 44444444444444443 + 55555555555555556
88888888888888888^2 = 7901234567901234409876543209876544,
  88888888888888888 = 79012345679012344 +  9876543209876544
99999999999999999^2 = 9999999999999999800000000000000001,
  99999999999999999 = 99999999999999998 +                 1
111111111111111111^2 =  12345679012345678987654320987654321,
  999999999999999999 =  12345679012345678 + 987654320987654321
222222222222222222^2 =  49382716049382715950617283950617284,
  999999999999999999 =  49382716049382715 + 950617283950617284
333333333333333333^2 = 111111111111111110888888888888888889,
  999999999999999999 = 111111111111111110 + 888888888888888889
444444444444444444^2 = 197530864197530863802469135802469136,
  999999999999999999 = 197530864197530863 + 802469135802469136
555555555555555555^2 = 308641975308641974691358024691358025,
  999999999999999999 = 308641975308641974 + 691358024691358025
666666666666666666^2 = 444444444444444443555555555555555556,
  999999999999999999 = 444444444444444443 + 555555555555555556
777777777777777777^2 = 604938271604938270395061728395061729,
  999999999999999999 = 604938271604938270 + 395061728395061729
888888888888888888^2 = 790123456790123455209876543209876544,
  999999999999999999 = 790123456790123455 + 209876543209876544
999999999999999999^2 = 999999999999999998000000000000000001,
  999999999999999999 = 999999999999999998 +                  1
1111111111111111111^2 =  1234567901234567900987654320987654321,
  1111111111111111111 =  123456790123456790 +  987654320987654321
2222222222222222222^2 =  4938271604938271603950617283950617284,
  4444444444444444444 =  493827160493827160 + 3950617283950617284
3333333333333333333^2 = 11111111111111111108888888888888888889,
  9999999999999999999 = 1111111111111111110 + 8888888888888888889
4444444444444444444^2 = 19753086419753086415802469135802469136,
  7777777777777777777 = 1975308641975308641 + 5802469135802469136
5555555555555555555^2 = 30864197530864197524691358024691358025,
  7777777777777777777 = 3086419753086419752 + 4691358024691358025
6666666666666666666^2 = 44444444444444444435555555555555555556,
  9999999999999999999 = 4444444444444444443 + 5555555555555555556
9999999999999999999^2 = 99999999999999999980000000000000000001,
  9999999999999999999 = 9999999999999999998 +                   1
11111111111111111111^2 =  123456790123456790120987654320987654321,
  22222222222222222222 =  1234567901234567901 + 20987654320987654321
22222222222222222222^2 =  493827160493827160483950617283950617284,
  88888888888888888888 =  4938271604938271604 + 83950617283950617284
33333333333333333333^2 = 1111111111111111111088888888888888888889,
  99999999999999999999 = 11111111111111111110 + 88888888888888888889
44444444444444444444^2 = 1975308641975308641935802469135802469136,
  55555555555555555555 = 19753086419753086419 + 35802469135802469136
55555555555555555555^2 = 3086419753086419753024691358024691358025,
  55555555555555555555 = 30864197530864197530 + 24691358024691358025
66666666666666666666^2 = 4444444444444444444355555555555555555556,
  99999999999999999999 = 44444444444444444443 + 55555555555555555556
77777777777777777777^2 = 6049382716049382715928395061728395061729,
  88888888888888888888 = 60493827160493827159 + 28395061728395061729
99999999999999999999^2 = 9999999999999999999800000000000000000001,
  99999999999999999999 = 99999999999999999998 +                    1
111111111111111111111^2 =  12345679012345679012320987654320987654321,
  333333333333333333333 =  12345679012345679012 + 320987654320987654321
222222222222222222222^2 =  49382716049382716049283950617283950617284,
  333333333333333333333 =  49382716049382716049 + 283950617283950617284
333333333333333333333^2 = 111111111111111111110888888888888888888889,
  999999999999999999999 = 111111111111111111110 + 888888888888888888889
444444444444444444444^2 = 197530864197530864197135802469135802469136,
  333333333333333333333 = 197530864197530864197 + 135802469135802469136
555555555555555555555^2 = 308641975308641975308024691358024691358025,
  333333333333333333333 = 308641975308641975308 +  24691358024691358025
666666666666666666666^2 = 444444444444444444443555555555555555555556,
  999999999999999999999 = 444444444444444444443 + 555555555555555555556
999999999999999999999^2 = 999999999999999999998000000000000000000001,
  999999999999999999999 = 999999999999999999998 +                     1
1111111111111111111111^2 =  1234567901234567901234320987654320987654321,
  4444444444444444444444 =  123456790123456790123 + 4320987654320987654321
2222222222222222222222^2 =  4938271604938271604937283950617283950617284,
  7777777777777777777777 =  493827160493827160493 + 7283950617283950617284
3333333333333333333333^2 = 11111111111111111111108888888888888888888889,
  9999999999999999999999 = 1111111111111111111110 + 8888888888888888888889
6666666666666666666666^2 = 44444444444444444444435555555555555555555556,
  9999999999999999999999 = 4444444444444444444443 + 5555555555555555555556
7777777777777777777777^2 = 60493827160493827160481728395061728395061729,
  7777777777777777777777 = 6049382716049382716048 + 1728395061728395061729
9999999999999999999999^2 = 99999999999999999999980000000000000000000001,
  9999999999999999999999 = 9999999999999999999998 +                      1
11111111111111111111111^2 =  123456790123456790123454320987654320987654321,
  55555555555555555555555 =  1234567901234567901234 + 54320987654320987654321
22222222222222222222222^2 =  493827160493827160493817283950617283950617284,
  22222222222222222222222 =  4938271604938271604938 + 17283950617283950617284
33333333333333333333333^2 = 1111111111111111111111088888888888888888888889,
  99999999999999999999999 = 11111111111111111111110 + 88888888888888888888889
44444444444444444444444^2 = 1975308641975308641975269135802469135802469136,
  88888888888888888888888 = 19753086419753086419752 + 69135802469135802469136
55555555555555555555555^2 = 3086419753086419753086358024691358024691358025,
  88888888888888888888888 = 30864197530864197530863 + 58024691358024691358025
66666666666666666666666^2 = 4444444444444444444444355555555555555555555556,
  99999999999999999999999 = 44444444444444444444443 + 55555555555555555555556
99999999999999999999999^2 = 9999999999999999999999800000000000000000000001,
  99999999999999999999999 = 99999999999999999999998 +                       1
111111111111111111111111^2 =  12345679012345679012345654320987654320987654321,
  666666666666666666666666 =  12345679012345679012345 + 654320987654320987654321
222222222222222222222222^2 =  49382716049382716049382617283950617283950617284,
  666666666666666666666666 =  49382716049382716049382 + 617283950617283950617284
333333333333333333333333^2 = 111111111111111111111110888888888888888888888889,
  999999999999999999999999 = 111111111111111111111110 + 888888888888888888888889
444444444444444444444444^2 = 197530864197530864197530469135802469135802469136,
  666666666666666666666666 = 197530864197530864197530 + 469135802469135802469136
555555555555555555555555^2 = 308641975308641975308641358024691358024691358025,
  666666666666666666666666 = 308641975308641975308641 + 358024691358024691358025
666666666666666666666666^2 = 444444444444444444444443555555555555555555555556,
  999999999999999999999999 = 444444444444444444444443 + 555555555555555555555556
777777777777777777777777^2 = 604938271604938271604937061728395061728395061729,
  666666666666666666666666 = 604938271604938271604937 +  61728395061728395061729
999999999999999999999999^2 = 999999999999999999999998000000000000000000000001,
  999999999999999999999999 = 999999999999999999999998 +                        1
1111111111111111111111111^2 =  1234567901234567901234567654320987654320987654321,
  7777777777777777777777777 =  123456790123456790123456 + 7654320987654320987654321
2222222222222222222222222^2 =  4938271604938271604938270617283950617283950617284,
  1111111111111111111111111 =  493827160493827160493827 +  617283950617283950617284
3333333333333333333333333^2 = 11111111111111111111111108888888888888888888888889,
  9999999999999999999999999 = 1111111111111111111111110 + 8888888888888888888888889
4444444444444444444444444^2 = 19753086419753086419753082469135802469135802469136,
  4444444444444444444444444 = 1975308641975308641975308 + 2469135802469135802469136
5555555555555555555555555^2 = 30864197530864197530864191358024691358024691358025,
  4444444444444444444444444 = 3086419753086419753086419 + 1358024691358024691358025
6666666666666666666666666^2 = 44444444444444444444444435555555555555555555555556,
  9999999999999999999999999 = 4444444444444444444444443 + 5555555555555555555555556
9999999999999999999999999^2 = 99999999999999999999999980000000000000000000000001,
  9999999999999999999999999 = 9999999999999999999999998 +                         1
11111111111111111111111111^2 =  123456790123456790123456787654320987654320987654321,
  88888888888888888888888888 =  1234567901234567901234567 + 87654320987654320987654321
22222222222222222222222222^2 =  493827160493827160493827150617283950617283950617284,
  55555555555555555555555555 =  4938271604938271604938271 + 50617283950617283950617284
33333333333333333333333333^2 = 1111111111111111111111111088888888888888888888888889,
  99999999999999999999999999 = 11111111111111111111111110 + 88888888888888888888888889
44444444444444444444444444^2 = 1975308641975308641975308602469135802469135802469136,
  22222222222222222222222222 = 19753086419753086419753086 +  2469135802469135802469136
66666666666666666666666666^2 = 4444444444444444444444444355555555555555555555555556,
  99999999999999999999999999 = 44444444444444444444444443 + 55555555555555555555555556
88888888888888888888888888^2 = 7901234567901234567901234409876543209876543209876544,
  88888888888888888888888888 = 79012345679012345679012344 +  9876543209876543209876544
99999999999999999999999999^2 = 9999999999999999999999999800000000000000000000000001,
  99999999999999999999999999 = 99999999999999999999999998 +                          1
111111111111111111111111111^2 =  12345679012345679012345678987654320987654320987654321,
  999999999999999999999999999 =  12345679012345679012345678 + 987654320987654320987654321
222222222222222222222222222^2 =  49382716049382716049382715950617283950617283950617284,
  999999999999999999999999999 =  49382716049382716049382715 + 950617283950617283950617284
333333333333333333333333333^2 = 111111111111111111111111110888888888888888888888888889,
  999999999999999999999999999 = 111111111111111111111111110 + 888888888888888888888888889
444444444444444444444444444^2 = 197530864197530864197530863802469135802469135802469136,
  999999999999999999999999999 = 197530864197530864197530863 + 802469135802469135802469136
555555555555555555555555555^2 = 308641975308641975308641974691358024691358024691358025,
  999999999999999999999999999 = 308641975308641975308641974 + 691358024691358024691358025
666666666666666666666666666^2 = 444444444444444444444444443555555555555555555555555556,
  999999999999999999999999999 = 444444444444444444444444443 + 555555555555555555555555556
777777777777777777777777777^2 = 604938271604938271604938270395061728395061728395061729,
  999999999999999999999999999 = 604938271604938271604938270 + 395061728395061728395061729
888888888888888888888888888^2 = 790123456790123456790123455209876543209876543209876544,
  999999999999999999999999999 = 790123456790123456790123455 + 209876543209876543209876544
999999999999999999999999999^2 = 999999999999999999999999998000000000000000000000000001,
  999999999999999999999999999 = 999999999999999999999999998 +                           1