2021年5月18日火曜日

210518

PARI


Sum_{n = 1..24} n^2 = 70^2(6)

n-gonal number であり、n-gonal pyramidal number である数について
比較的小さなもの（ただし0, 1 を除く）を出力してみた。

a(n) = for(k=2, n, if(ispolygonal(m=k*(k+1)*((n-2)*k-n+5)/6, n), print(n, ": ", [k, m])));
for(n=3, 100000, a(n))

出力結果
3: [3, 10]
10: [5, 175]
14: [6, 441]
30: [17, 23001]
43: [33, 245905]
50: [34, 314755]
88: [15, 48280]
276: [26, 801801]
322: [28, 1169686]
823: [113, 197427385]
2378: [103, 432684460]
2386: [420, 29437553530]
9525: [2169, 16195753597485]
16420: [6936, 913053565546276]
19605: [1191, 5519583702676]
31265: [259, 90525801730]
31368: [14858, 17147031694579605]
83135: [1310, 31148407558500]
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2021年5月17日月曜日

210517

PARI


Sum_{n = 1..24} n^2 = 70^2(5)

n-gonal number であり、n-gonal pyramidal number である数を出力してみた。

a(n) = print1(n, ": "); for(k=0, 1e6, if(ispolygonal(m=k*(k+1)*((n-2)*k-n+5)/6, n), print1(m, ", "))); print;
for(n=3, 1000, a(n))

出力結果
3: 0, 1, 10, 120, 1540, 7140, 
4: 0, 1, 4900, 
5: 0, 1, 
6: 0, 1, 946, 
7: 0, 1, 
8: 0, 1, 1045, 5985, 123395663059845, 774611255177760, 
9: 0, 1, 
10: 0, 1, 175, 368050005576, 
11: 0, 1, 23725, 1519937678700, 7248070597636, 
12: 0, 1, 
13: 0, 1, 
14: 0, 1, 441, 195661, 
15: 0, 1, 
16: 0, 1, 
17: 0, 1, 975061, 1580765544996, 
18: 0, 1, 
19: 0, 1, 
20: 0, 1, 3578401, 
21: 0, 1, 
22: 0, 1, 
23: 0, 1, 10680265, 
24: 0, 1, 
25: 0, 1, 
26: 0, 1, 27453385, 
27: 0, 1, 
28: 0, 1, 
29: 0, 1, 63016921, 
30: 0, 1, 23001, 
31: 0, 1, 
32: 0, 1, 132361021, 
33: 0, 1, 
34: 0, 1, 
35: 0, 1, 258815701, 
36: 0, 1, 
37: 0, 1, 
38: 0, 1, 477132085, 
39: 0, 1, 
40: 0, 1, 
41: 0, 1, 55202400, 837244045, 
42: 0, 1, 
43: 0, 1, 245905, 
44: 0, 1, 1408778281, 
45: 0, 1, 
46: 0, 1, 
47: 0, 1, 2286380881, 
48: 0, 1, 
49: 0, 1, 
50: 0, 1, 314755, 3595928401, 
51: 0, 1, 
52: 0, 1, 
53: 0, 1, 5501691505, 
54: 0, 1, 
55: 0, 1, 
56: 0, 1, 8214519205, 
57: 0, 1, 
58: 0, 1, 
59: 0, 1, 12001111741, 
60: 0, 1, 1785508245600, 
61: 0, 1, 
62: 0, 1, 17194450141, 
63: 0, 1, 
64: 0, 1, 
65: 0, 1, 24205450501, 
66: 0, 1, 
67: 0, 1, 
68: 0, 1, 33535911025, 
69: 0, 1, 
70: 0, 1, 
71: 0, 1, 45792819865, 
72: 0, 1, 
73: 0, 1, 
74: 0, 1, 61704091801, 
75: 0, 1, 
76: 0, 1, 
77: 0, 1, 82135801801, 
78: 0, 1, 
79: 0, 1, 
80: 0, 1, 108110983501, 
81: 0, 1, 
82: 0, 1, 
83: 0, 1, 140830060645, 
84: 0, 1, 
85: 0, 1, 
86: 0, 1, 181692979525, 
87: 0, 1, 
88: 0, 1, 48280, 
89: 0, 1, 232323110461, 
90: 0, 1, 
91: 0, 1, 
92: 0, 1, 294592986361, 
93: 0, 1, 
94: 0, 1, 
95: 0, 1, 370651946401, 
96: 0, 1, 
97: 0, 1, 
98: 0, 1, 462955752865, 
99: 0, 1, 
100: 0, 1, 
101: 0, 1, 574298249185, 
102: 0, 1, 
103: 0, 1, 
104: 0, 1, 707845127221, 
105: 0, 1, 
106: 0, 1, 
107: 0, 1, 867169871821, 
108: 0, 1, 
109: 0, 1, 
110: 0, 1, 1056291950701, 
111: 0, 1, 
112: 0, 1, 
113: 0, 1, 1279717317685, 
114: 0, 1, 
115: 0, 1, 
116: 0, 1, 1542481297345, 
117: 0, 1, 
118: 0, 1, 
119: 0, 1, 1850193919081, 
120: 0, 1, 
121: 0, 1, 
122: 0, 1, 2209087768681, 
123: 0, 1, 
124: 0, 1, 
125: 0, 1, 2626068425401, 
126: 0, 1, 
127: 0, 1, 
128: 0, 1, 3108767552605, 
129: 0, 1, 
130: 0, 1, 
131: 0, 1, 3665598710005, 
132: 0, 1, 
133: 0, 1, 
134: 0, 1, 4305815955541, 
135: 0, 1, 
136: 0, 1, 
137: 0, 1, 5039575304941, 
138: 0, 1, 
139: 0, 1, 
140: 0, 1, 5877999117001, 
141: 0, 1, 
142: 0, 1, 
143: 0, 1, 6833243472625, 
144: 0, 1, 
145: 0, 1, 101337426, 
146: 0, 1, 7918568615665, 
147: 0, 1, 
148: 0, 1, 
149: 0, 1, 9148412523601, 
150: 0, 1, 
151: 0, 1, 
152: 0, 1, 10538467676101, 
153: 0, 1, 
154: 0, 1, 
155: 0, 1, 12105761089501, 
156: 0, 1, 
157: 0, 1, 
158: 0, 1, 13868737685245, 
159: 0, 1, 
160: 0, 1, 
161: 0, 1, 15847347060325, 
162: 0, 1, 
163: 0, 1, 
164: 0, 1, 18063133727761, 
165: 0, 1, 
166: 0, 1, 
167: 0, 1, 20539330895161, 
168: 0, 1, 
169: 0, 1, 
170: 0, 1, 23300957849401, 
171: 0, 1, 
172: 0, 1, 
173: 0, 1, 26374921015465, 
174: 0, 1, 
175: 0, 1, 
176: 0, 1, 29790118757485, 
177: 0, 1, 
178: 0, 1, 
179: 0, 1, 33577549990021, 
180: 0, 1, 
181: 0, 1, 
182: 0, 1, 37770426667621, 
183: 0, 1, 
184: 0, 1, 
185: 0, 1, 42404290220701, 
186: 0, 1, 
187: 0, 1, 
188: 0, 1, 47517132005785, 
189: 0, 1, 
190: 0, 1, 
191: 0, 1, 53149517838145, 
192: 0, 1, 
193: 0, 1, 
194: 0, 1, 59344716674881, 
195: 0, 1, 
196: 0, 1, 
197: 0, 1, 66148833516481, 
198: 0, 1, 
199: 0, 1, 
200: 0, 1, 73610946594901, 
201: 0, 1, 
202: 0, 1, 
203: 0, 1, 81783248916205, 
204: 0, 1, 
205: 0, 1, 
206: 0, 1, 90721194225805, 
207: 0, 1, 
208: 0, 1, 
209: 0, 1, 100483647464341, 
210: 0, 1, 
211: 0, 1, 
212: 0, 1, 111133039782241, 
213: 0, 1, 
214: 0, 1, 
215: 0, 1, 122735528181001, 
216: 0, 1, 
217: 0, 1, 
218: 0, 1, 135361159849225, 
219: 0, 1, 
220: 0, 1, 
221: 0, 1, 149084041261465, 
222: 0, 1, 
223: 0, 1, 
224: 0, 1, 163982512107901, 
225: 0, 1, 
226: 0, 1, 
227: 0, 1, 180139324122901, 
228: 0, 1, 
229: 0, 1, 
230: 0, 1, 197641824880501, 
231: 0, 1, 
232: 0, 1, 
233: 0, 1, 216582146624845, 
234: 0, 1, 
235: 0, 1, 
236: 0, 1, 237057400203625, 
237: 0, 1, 
238: 0, 1, 
239: 0, 1, 259169874172561, 
240: 0, 1, 
241: 0, 1, 
242: 0, 1, 283027239138961, 
243: 0, 1, 
244: 0, 1, 
245: 0, 1, 308742757412401, 
246: 0, 1, 
247: 0, 1, 
248: 0, 1, 336435498030565, 
249: 0, 1, 
250: 0, 1, 
251: 0, 1, 366230557228285, 
252: 0, 1, 
253: 0, 1, 
254: 0, 1, 398259284417821, 
255: 0, 1, 
256: 0, 1, 
257: 0, 1, 432659513748421, 
258: 0, 1, 
259: 0, 1, 
260: 0, 1, 469575801313201, 
261: 0, 1, 
262: 0, 1, 
263: 0, 1, 509159668071385, 
264: 0, 1, 
265: 0, 1, 
266: 0, 1, 551569848553945, 
267: 0, 1, 
268: 0, 1, 
269: 0, 1, 596972545420681, 
270: 0, 1, 
271: 0, 1, 
272: 0, 1, 645541689936781, 
273: 0, 1, 
274: 0, 1, 
275: 0, 1, 697459208436901, 
276: 0, 1, 801801, 
277: 0, 1, 
278: 0, 1, 752915294844805, 
279: 0, 1, 
280: 0, 1, 
281: 0, 1, 812108689316605, 
282: 0, 1, 
283: 0, 1, 
284: 0, 1, 875246963075641, 
285: 0, 1, 
286: 0, 1, 
287: 0, 1, 942546809507041, 
288: 0, 1, 
289: 0, 1, 
290: 0, 1, 1014234341580001, 
291: 0, 1, 
292: 0, 1, 
293: 0, 1, 1090545395665825, 
294: 0, 1, 
295: 0, 1, 
296: 0, 1, 1171725841819765, 
297: 0, 1, 
298: 0, 1, 
299: 0, 1, 1258031900594701, 
300: 0, 1, 
301: 0, 1, 
302: 0, 1, 1349730466454701, 
303: 0, 1, 
304: 0, 1, 
305: 0, 1, 1447099437856501, 
306: 0, 1, 
307: 0, 1, 
308: 0, 1, 1550428054066945, 
309: 0, 1, 
310: 0, 1, 
311: 0, 1, 1660017238784425, 
312: 0, 1, 
313: 0, 1, 
314: 0, 1, 1776179950632361, 
315: 0, 1, 
316: 0, 1, 
317: 0, 1, 1899241540592761, 
318: 0, 1, 
319: 0, 1, 
320: 0, 1, 2029540116447901, 
321: 0, 1, 
322: 0, 1, 1169686, 
323: 0, 1, 2167426914298165, 
324: 0, 1, 
325: 0, 1, 
326: 0, 1, 2313266677224085, 
327: 0, 1, 
328: 0, 1, 
329: 0, 1, 2467438041160621, 
330: 0, 1, 
331: 0, 1, 
332: 0, 1, 2630333928051721, 
333: 0, 1, 
334: 0, 1, 
335: 0, 1, 2802361946353201, 
336: 0, 1, 
337: 0, 1, 
338: 0, 1, 2983944798951985, 
339: 0, 1, 
340: 0, 1, 
341: 0, 1, 3175520698569745, 
342: 0, 1, 
343: 0, 1, 
344: 0, 1, 3377543790718981, 
345: 0, 1, 
346: 0, 1, 
347: 0, 1, 3590484584279581, 
348: 0, 1, 
349: 0, 1, 
350: 0, 1, 3814830389763901, 
351: 0, 1, 
352: 0, 1, 
353: 0, 1, 4051085765338405, 
354: 0, 1, 
355: 0, 1, 
356: 0, 1, 4299772970669905, 
357: 0, 1, 
358: 0, 1, 
359: 0, 1, 4561432428664441, 
360: 0, 1, 
361: 0, 1, 
362: 0, 1, 4836623195166841, 
363: 0, 1, 
364: 0, 1, 
365: 0, 1, 5125923436689001, 
366: 0, 1, 
367: 0, 1, 
368: 0, 1, 5429930916234925, 
369: 0, 1, 
370: 0, 1, 
371: 0, 1, 5749263487290565, 
372: 0, 1, 
373: 0, 1, 
374: 0, 1, 15064335000, 6084559596046501, 
375: 0, 1, 
376: 0, 1, 
377: 0, 1, 6436478791921501, 
378: 0, 1, 
379: 0, 1, 
380: 0, 1, 6805702246455001, 
381: 0, 1, 
382: 0, 1, 
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870: 0, 1, 
871: 0, 1, 
872: 0, 1, 2328677953842384181, 
873: 0, 1, 
874: 0, 1, 
875: 0, 1, 2385472641209757901, 
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878: 0, 1, 2443450510889738605, 
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885: 0, 1, 
886: 0, 1, 
887: 0, 1, 2624689325660590441, 
888: 0, 1, 
889: 0, 1, 
890: 0, 1, 2687607459785457001, 
891: 0, 1, 
892: 0, 1, 
893: 0, 1, 2751813977416413625, 
894: 0, 1, 
895: 0, 1, 
896: 0, 1, 2817330789263011165, 
897: 0, 1, 
898: 0, 1, 
899: 0, 1, 2884180103123354101, 
900: 0, 1, 
901: 0, 1, 
902: 0, 1, 2952384426895094101, 
903: 0, 1, 
904: 0, 1, 
905: 0, 1, 3021966571606699501, 
906: 0, 1, 
907: 0, 1, 
908: 0, 1, 3092949654469068745, 
909: 0, 1, 
910: 0, 1, 
911: 0, 1, 3165357101947555825, 
912: 0, 1, 
913: 0, 1, 
914: 0, 1, 3239212652854475761, 
915: 0, 1, 
916: 0, 1, 
917: 0, 1, 3314540361462158161, 
918: 0, 1, 
919: 0, 1, 
920: 0, 1, 3391364600636616901, 
921: 0, 1, 
922: 0, 1, 
923: 0, 1, 3469710064991903965, 
924: 0, 1, 
925: 0, 1, 
926: 0, 1, 3549601774065215485, 
927: 0, 1, 
928: 0, 1, 
929: 0, 1, 3631065075512818021, 
930: 0, 1, 
931: 0, 1, 
932: 0, 1, 3714125648326863121, 
933: 0, 1, 
934: 0, 1, 
935: 0, 1, 3798809506073158201, 
936: 0, 1, 
937: 0, 1, 
938: 0, 1, 3885143000149961785, 
939: 0, 1, 
940: 0, 1, 
941: 0, 1, 3973152823067871145, 
942: 0, 1, 
943: 0, 1, 
944: 0, 1, 4062866011750870381, 
945: 0, 1, 
946: 0, 1, 
947: 0, 1, 4154309950858606981, 
948: 0, 1, 
949: 0, 1, 
950: 0, 1, 4247512376129964901, 
951: 0, 1, 
952: 0, 1, 
953: 0, 1, 4342501377748002205, 
954: 0, 1, 
955: 0, 1, 
956: 0, 1, 4439305403726321305, 
957: 0, 1, 
958: 0, 1, 
959: 0, 1, 4537953263316939841, 
960: 0, 1, 
961: 0, 1, 
962: 0, 1, 4638474130439730241, 
963: 0, 1, 
964: 0, 1, 
965: 0, 1, 4740897547133496001, 
966: 0, 1, 
967: 0, 1, 
968: 0, 1, 4845253427028752725, 
969: 0, 1, 
970: 0, 1, 
971: 0, 1, 4951572058842281965, 
972: 0, 1, 
973: 0, 1, 
974: 0, 1, 5059884109893525901, 
975: 0, 1, 
976: 0, 1, 
977: 0, 1, 5170220629642890901, 
978: 0, 1, 
979: 0, 1, 
980: 0, 1, 5282613053252028001, 
981: 0, 1, 
982: 0, 1, 
983: 0, 1, 5397093205166158345, 
984: 0, 1, 
985: 0, 1, 
986: 0, 1, 5513693302718511625, 
987: 0, 1, 
988: 0, 1, 
989: 0, 1, 5632445959756945561, 
990: 0, 1, 
991: 0, 1, 
992: 0, 1, 5753384190292814461, 
993: 0, 1, 
994: 0, 1, 
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2021年5月16日日曜日

210516

Ruby


Sum_{n = 1..24} n^2 = 70^2(4)

https://www.youtube.com/watch?v=q6L06pyt9CA

この動画に出てくる内容について出力してみた。

# polygonal number
def p_k(k, n)
  n * ((k - 2) * n - k + 4) / 2
end

# Sum_{j=1..n} p_k(k, j)
def q_k(k, n)
  (1..n).inject(0){|s, i| s + p_k(k, i)}
end

def f(k, m, n)
  p k
  p [m, q_k(k, m)]
  p [n, p_k(k, n)]
end

f(4, 24, 70)
f(8, 10, 19)
f(8, 18, 45)
f(31265, 259, 2407)

出力結果
4
[24, 4900]
[70, 4900]
8
[10, 1045]
[19, 1045]
8
[18, 5985]
[45, 5985]
31265
[259, 90525801730]
[2407, 90525801730]
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2021年5月1日土曜日

210501

Ruby


(1/e) * Sum_{a_1>=1, a_2>=1, ... , a_n>=1} a_1 * a_2 * ... * a_k / (a_1 + a_2 + ... + a_n)!

O. Furdui, Limits, Series and Fractional Part Integrals
の３章のOpen Problemの一つに
Sum_{a_1>=1, a_2>=1, ... , a_n>=1} a_1 * a_2 * ... * a_n / (a_1 + a_2 + ... + a_n)!
が 有理数 * e と書けるかいう問題があるが、
より一般的に、1 <= k <= n のとき、
Sum_{a_1>=1, a_2>=1, ... , a_n>=1} a_1 * a_2 * ... * a_k / (a_1 + a_2 + ... + a_n)!
が 有理数 * e と書ける。
この有理数すなわち
(1/e) * Sum_{a_1>=1, a_2>=1, ... , a_n>=1} a_1 * a_2 * ... * a_k / (a_1 + a_2 + ... + a_n)!
を出力してみた。

def f(n)
  return 1 if n < 2
  (1..n).inject(:*)
end

def ncr(n, r)
  return 1 if r == 0
  (n - r + 1..n).inject(:*) / (1..r).inject(:*)
end

def A(k, n)
  (0..k - 1).inject(0){|s, i| s + ncr(k - 1, i) / f(i + n).to_r}
end

n = 6
(1..n).each{|i|
  p [i, (1..i).map{|j| A(j, i)}]
}

出力結果
[1, [(1/1)]]
[2, [(1/2), (2/3)]]
[3, [(1/6), (5/24), (31/120)]]
[4, [(1/24), (1/20), (43/720), (179/2520)]]
[5, [(1/120), (7/720), (19/1680), (529/40320), (787/51840)]]
[6, [(1/720), (1/630), (73/40320), (187/90720), (8501/3628800), (6631/2494800)]]
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