200524

GitHub


芝生への反映

プライベートリポジトリへの貢献を外部に見えるようにするには、
Contribution settings で設定を変えておきましょう。

200510

PARI


百五減算

塵劫記にある問題を解いてみた。

(00:11) gp > f(x, y, z) = chinese(chinese(Mod(x, 3), Mod(y, 5)), Mod(z, 7));
(00:12) gp > f(2, 1, 2)
%2 = Mod(86, 105)
(00:12) gp >

200502(2)

PARI


A330905とA330906(2)

B_n をベルヌーイ数とし、
b(n) = (1-2^(n-1)) * B_n / n! とおく。
以下の式が成り立つ。
Sum_{k>0} (-1)^(k+1) / (k^(4*n+3) * sinh(Pi * k))
= Pi^(4*n+3) * Sum_{k=0..2*n+2} (-1)^k * b(2*k) * b(4*n+4-2*k).

この式を確かめたいので、以下のように変形しておく。
Pi^(4*n+3) / Sum_{k>0} (-1)^(k+1) / (k^(4*n+3) * sinh(Pi * k))
= 1 / Sum_{k=0..2*n+2} (-1)^k * b(2*k) * b(4*n+4-2*k).

PARI で以下を計算してみた。
・左辺の近似
・右辺の小数点表示
・右辺

(20:07) gp > a(n) = Pi^(4*n+3)/sum(k=1, 1e3, (-1)^(k+1)/(k^(4*n+3)*sinh(Pi*k)));
(20:07) gp > b(n) = (1-2^(n-1))*bernfrac(n)/n!;
(20:07) gp > c(n) = 1./sum(k=0, 2*n+2, (-1)^k*b(2*k)*b(4*n+4-2*k));
(20:07) gp > for(n=0, 15, print(n, " ", a(n), ", ", c(n)))
0 360.00000000000000000000000000000000000, 360.00000000000000000000000000000000000
1 34892.307692307692307692307692307692307, 34892.307692307692307692307692307692308
2 3397757.0466450486405587428286355699675, 3397757.0466450486405587428286355699676
3 330965893.87873935512046000436713006769, 330965893.87873935512046000436713006769
4 32239047105.289252291789907094360794212, 32239047105.289252291789907094360794212
5 3140376032121.1543878520200862031670201, 3140376032121.1543878520200862031670202
6 305901173319289.18736149200209787146546, 305901173319289.18736149200209787146547
7 29797555230289305.236886951798435957311, 29797555230289305.236886951798435957311
8 2902552769963310768.7081963347143234222, 2902552769963310768.7081963347143234222
9 282735027000019326514.75198821663551665, 282735027000019326514.75198821663551666
10 27540961983543993800640.575424040179925, 27540961983543993800640.575424040179926
11 2682740073019024892772930.4983112005454, 2682740073019024892772930.4983112005455
12 261323271993276466380937060.90503864062, 261323271993276466380937060.90503864063
13 25455262390896446399109395243.853963842, 25455262390896446399109395243.853963843
14 2479573971529250477868053848163.8705205, 2479573971529250477868053848163.8705206
15 241533046718235727283534125686156.70937, 241533046718235727283534125686156.70938
(20:07) gp > d(n) = 1/sum(k=0, 2*n+2, (-1)^k*b(2*k)*b(4*n+4-2*k));
(20:07) gp > for(n=0, 15, print(n, " ", d(n)))
0 360
1 453600/13
2 13621608000/4009
3 4547140416000/13739
4 844351508246400000/26190337
5 2481187700290640140800000/790092547807
6 4625642784113264833920000000/15121363327643
7 72771380848009396571232614400000000/2442193001593535677
8 121040492221732333298138065066291200000000/41701392468830919939353
9 4859044199288026228257452368062289920000000000/17185858614142258665062467
10 470948281883394078095168798417333263626240000000000/17099921279612182344285033157
11 75909503357294871843169209382788539223253261516800000000000/28295511786898541163838004665601843
12 190237458979356401675743287858178427370130402222080000000000000/727977487532189566289706245511979571
13 577353186156120578296926710267088574653027718747008368640000000000000/22681093492188834346091000609641534617709
14 293380052164647034026484708090366002657453465071092270541520150528000000000000000/118318733594266620784339626611081721895773642441001
15 142060424380033042937835408541691071880198126207611096803753229811712000000000000000/588161439232602912110323381690338959839367310791017
(20:07) gp >

200502

PARI


A330905とA330906(1)

B_n をベルヌーイ数とし、
b(n) = B_n / n! とおく。
Ramanujan は以下の式を証明している。
Sum_{k>0} 1 / (k^(4*n+3) * tanh(Pi * k))
= 1/2 * (2*Pi)^(4*n+3) * Sum_{k=0..2*n+2} (-1)^(k+1) * b(2*k) * b(4*n+4-2*k).

この式を確かめたいので、以下のように変形しておく。
(2*Pi)^(4*n+3) / (2 * Sum_{k>0} 1 / (k^(4*n+3) * tanh(Pi * k)))
= 1 / Sum_{k=0..2*n+2} (-1)^(k+1) * b(2*k) * b(4*n+4-2*k).

PARI で以下を計算してみた。
・左辺の近似
・右辺の小数点表示
・右辺

(20:01) gp > a(n) = (2*Pi)^(4*n+3)/(2*sum(k=1, 1e5, 1/(k^(4*n+3)*tanh(Pi*k))));
(20:01) gp > b(n) = bernfrac(n)/n!;
(20:01) gp > c(n) = 1./sum(k=0, 2*n+2, (-1)^(k+1)*b(2*k)*b(4*n+4-2*k));
(20:01) gp > for(n=0, 15, print(n, " ", a(n), ", ", c(n)))
0 102.85714286140791537238401578455415888, 102.85714285714285714285714285714285714
1 190989.47368421052631578947368424203205, 190989.47368421052631578947368421052632
2 299994119.75223675154852030282174811046, 299994119.75223675154852030282174810736
3 467770417602.68868269160517279170015397, 467770417602.68868269160517279170015343
4 729062290145074.01339579741266079413018, 729062290145074.01339579741266079412994
5 1136278745069845523.6788794377714389477, 1136278745069845523.6788794377714389475
6 1770942272696454712718.5728260712558869, 1770942272696454712718.5728260712558868
7 2760094052120487610477090.9028015566731, 2760094052120487610477090.9028015566730
8 4301732046437584164240285656.1584123002, 4301732046437584164240285656.1584123001
9 6704444936427436938855870102292.5590515, 6704444936427436938855870102292.5590516
10 10449182194336422920902110427614039.942, 10449182194336422920902110427614039.942
11 1.6285525433585632742121198283458288818 E37, 1.6285525433585632742121198283458288818 E37
12 2.5381731671947447046974678469684691899 E40, 2.5381731671947447046974678469684691900 E40
13 3.9558582576533644484189622424332846786 E43, 3.9558582576533644484189622424332846787 E43
14 6.1653849141978696979807423115405833693 E46, 6.1653849141978696979807423115405833693 E46
15 9.6090326458682495355731770685878697235 E49, 9.6090326458682495355731770685878697236 E49
(20:01) gp > d(n) = 1/sum(k=0, 2*n+2, (-1)^(k+1)*b(2*k)*b(4*n+4-2*k));
(20:01) gp > for(n=0, 15, print(n, " ", d(n)))
0 720/7
1 3628800/19
2 435891456000/1453
3 6402373705728000/13687
4 5620003638888038400000/7708537
5 5081472410195231008358400000/4472029801
6 265252859812191058636308480000000/149780635937
7 30999443899158434788999954012569600000000/11231299844779783
8 15865019396486900390053552464368920166400000000/3688053840923281541
9 17832769956094244866124502310026493003038720000000000/2659842854283579394387
10 12839451706228207549650712667200594750243854090240000000000/1228751826452728351300837
11 1099884206876507435068099593496415004208493256012044697600000000000/67537532722660373286810600661
12 6383309881175603783793414201893673685057979412493432258560000000000000/251492292317888012003479295207
13 1007383427692662245069774961649317721640940993506204110466014248960000000000000/25465609788816025420512226447159951
14 8289853482539033016625993546659398645289550810014602743251403004228665344000000000000000/134458003805226512911690964066005527717583
15 2135507068688430481860783942510767721912226637217595584705835882334863472197632000000000000000/22223954766213317384532039590736747648635617
(20:01) gp >