240414

PARI


Apéry numberの仲間たち

l>=7 のとき、closed formはまだ見つかっていないようだ。

h(n) = sum(k=1, n, 1/k);
a(n, l) = sum(k=0, n, binomial(n, k)^l*(1-l*k*(h(k)-h(n-k))));
for(l=1, 12, for(n=0, 10, print1(a(n, l), ", ")); print)

出力結果

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 

1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 

1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, 

1, -2, 6, -20, 70, -252, 924, -3432, 12870, -48620, 184756, 

1, -3, 19, -147, 1251, -11253, 104959, -1004307, 9793891, -96918753, 970336269, 

1, -4, 48, -760, 13840, -273504, 5703096, -123519792, 2751843600, -62659854400, 1451780950048, 

1, -5, 109, -3317, 121501, -4954505, 216867925, -9981053045, 476860000285, -23451310381505, 1180189308268609, 

1, -6, 234, -13164, 936810, -76041756, 6739851636, -635746866264, 62819253878634, -6434646802174140, 678284981981948484, 

1, -7, 487, -49255, 6669751, -1053222757, 184786011019, -34916924925799, 6974335808409655, -1454249641139993257, 313810538382057898237, 

1, -8, 996, -177200, 45086980, -13631185008, 4662729892464, -1737911032294368, 690950882254608900, -288779498502632656640, 125605455885282444138496, 

1, -9, 2017, -620073, 294290001, -168314616009, 111074551176961, -80766140154871593, 63220243361206024657, -52382852763175965870009, 45422849668460020450930017, 

1, -10, 4062, -2125828, 1874792350, -2009033203260, 2538914209085100, -3571944365364382920, 5460901555410763324830, -8898003584839672562442700, 15258440639018489319278045812,