211211

Ruby


ナゴヤ三角形について(1)

この記事は
日曜数学 Advent Calendar 2021 (https://adventar.org/calendars/6887)
の12/11 分として書いております。

ナゴヤ三角形とは、一松　信氏命名の三角形の名称で、

一つの角が60度の、全ての辺の長さが整数の三角形（ただし、正三角形は除く）

のことです。

大学受験数学で頻出のものに、(3, 7, 8)や(5, 7, 8)があります。

辺の長さが互いに素な場合を原始的（primitive）とよびます。

原始的なナゴヤ三角形は、適当な正の整数m, n(0 < n < m)により、

2*m*n+n^2, m^2+m*n+n^2, m^2+2*m*n

もしくは

m^2 - n^2, m^2+m*n+n^2, m^2+2*m*n

のいずれかの形で一通りで表されます。

ここで注意しないといけない事は、

m, nに適当な値を入れると原始的でなくなる

ということです。

(m, n)=1, m-nが3で割り切れない

という条件が必要です。 

これらをもとに、原始的なナゴヤ三角形を計算すると以下のようになります。

def A(n)
  ary = []
  (1..n).each{|i|
    (i + 1..n).each{|j|
      if i.gcd(j) == 1 && (i - j) % 3 > 0
        x, y, z = j * j, i * j, i * i
        b = x + y + y
        c = x + y + z 
        a = y + y + z
        ary << [    a, b, c]
        ary << [b - a, b, c]
      end
    }
  }
  ary
end

n = 10
A(n).sort.each{|i| p i}

出力結果

[3, 8, 7]

[5, 8, 7]

[5, 21, 19]

[7, 15, 13]

[7, 40, 37]

[8, 15, 13]

[9, 65, 61]

[11, 35, 31]

[11, 96, 91]

[13, 48, 43]

[13, 133, 127]

[15, 176, 169]

[16, 21, 19]

[16, 55, 49]

[17, 80, 73]

[17, 225, 217]

[19, 99, 91]

[19, 280, 271]

[24, 35, 31]

[24, 119, 109]

[32, 77, 67]

[32, 207, 193]

[33, 40, 37]

[35, 48, 43]

[39, 55, 49]

[40, 91, 79]

[40, 117, 103]

[45, 77, 67]

[51, 91, 79]

[55, 112, 97]

[56, 65, 61]

[56, 171, 151]

[57, 112, 97]

[63, 80, 73]

[65, 153, 133]

[69, 160, 139]

[77, 117, 103]

[80, 99, 91]

[85, 96, 91]

[88, 153, 133]

[91, 160, 139]

[95, 119, 109]

[115, 171, 151]

[120, 133, 127]

[161, 176, 169]

[175, 207, 193]

[208, 225, 217]

[261, 280, 271]