151108(3)

Polite number(3)

n を連続する正の整数に分割しよう。

n = 90 (= 2^1 3^2 5^1)のとき、
n の奇数の約数は1, 3, 5, 9, 15, 45 の6個である。

90
= 29 + 30 + 31
= 16 + 17 + 18 + 19 +20
= 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14
= 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13
= 21 + 22 + 23 + 24

さて初項の和（90も含む）は
|90 / 1 - 1 / 2| + 1 / 2
+ |90 / 3 - 3 / 2| + 1 / 2
+ |90 / 5 - 5 / 2| + 1 / 2
+ |90 / 9 - 9 / 2| + 1 / 2
+ |90 / 15 - 15 / 2| + 1 / 2
+ |90 / 45 - 45 / 2| + 1 / 2
となる。

また、末項の和（90も含む）は
90 / 1 + 1 / 2 - 1 / 2
+ 90 / 3 + 3 / 2 - 1 / 2
+ 90 / 5 + 5 / 2 - 1 / 2
+ 90 / 9 + 9 / 2 - 1 / 2
+ 90 / 15 + 15 / 2 - 1 / 2
+ 90 / 45 + 45 / 2 - 1 / 2
= 90(1 / 1 + 1 / 3 + … + 1 / 45)
 + (1 + 3 + … + 45) / 2
 - (2 + 1)(1 + 1) / 2
= 2^1 3^2 5^1 (1 + 1 / 3 + 1 / 3^2)(1 + 1 / 5^1)
 + (1 + 3 + 3^2)(1 + 5^1) / 2
 - (2 + 1)(1 + 1) / 2
= 2^1 (1 + 3 + 3^2)(1 + 5^1)
 + (1 + 3 + 3^2)(1 + 5^1) / 2
 - (2 + 1)(1 + 1) / 2
= (2^1 + 1 / 2)(1 + 3 + 3^2)(1 + 5^1)
 - (2 + 1)(1 + 1) / 2
= (2^1 + 1 / 2) (3^(2 + 1) - 1) / (3 - 1) (5^(1 + 1) - 1) / (5 - 1)
 - (2 + 1)(1 + 1) / 2

一般に
n = 2^q1 3^q2 5^q3 …
と表されるとき、
末項の和（nも含む）は
(2^q1 + 1 / 2) (3^(q2 + 1) - 1) / (3 - 1) (5^(q3 + 1) - 1) / (5 - 1) …
- (q2 + 1)(q3 + 1) … / 2
となる。