171119

A generalized Euler transform

定理 数列{f(n)} および{g(n)} を用いて、新たな数列{a(n)} を次のように定義する。

Product_{n>0} (1 - g(n)*x^n)^(-f(n)) = a(0) + a(1)*x + a(2)*x^2 + ... .

このとき、

 a(n) = (1/n) * Sum_{k=1..n} b(k)*a(n-k). 

(ただし、b(n) = Sum_{d|n} d*f(d)*g(d)^(n/d))

証明. Product_{n>0} (1 - g(n)*x^n)^(-f(n)) = exp(Sum_{n>0} (Sum_{d|n} d*f(d)*g(d)^(n/d)) * x^n/n)
を示せばよいが、これは
- Sum_{n>0} f(n) * log(1 - g(n)*x^n)
= Sum_{n>0} f(n) * (Sum_{m>0} (g(n)*x^n)^m/m)
= Sum_{n>0} (Sum_{d|n} d*f(d)*g(d)^(n/d)) * x^n/n
より明らか。Q.E.D.

g(n) = 1 としたのが、Euler transform である。