180429

PARI


Integral_{x=-1..1} |p(x)| dx >= 1/2^{n-1}

p(x) を最高次の係数が1 のn 次多項式とする。
このとき、Integral_{x=-1..1} |p(x)| dx >= 1/2^{n-1}
を満たすことを初等数学第50号において証明した。

等号が成り立つような多項式を出力してみた。

(15:53) gp > T(n, k) = polcoeff(polchebyshev(n, 2)/2^n, k);
(15:54) gp > tabl(nn) = for(n=0, nn, for(k=0, n, print1(T(n, k), ", ")); print);
(15:54) gp > tabl(15)
1,
0, 1,
-1/4, 0, 1,
0, -1/2, 0, 1,
1/16, 0, -3/4, 0, 1,
0, 3/16, 0, -1, 0, 1,
-1/64, 0, 3/8, 0, -5/4, 0, 1,
0, -1/16, 0, 5/8, 0, -3/2, 0, 1,
1/256, 0, -5/32, 0, 15/16, 0, -7/4, 0, 1,
0, 5/256, 0, -5/16, 0, 21/16, 0, -2, 0, 1,
-1/1024, 0, 15/256, 0, -35/64, 0, 7/4, 0, -9/4, 0, 1,
0, -3/512, 0, 35/256, 0, -7/8, 0, 9/4, 0, -5/2, 0, 1,
1/4096, 0, -21/1024, 0, 35/128, 0, -21/16, 0, 45/16, 0, -11/4, 0, 1,
0, 7/4096, 0, -7/128, 0, 63/128, 0, -15/8, 0, 55/16, 0, -3, 0, 1,
-1/16384, 0, 7/1024, 0, -63/512, 0, 105/128, 0, -165/64, 0, 33/8, 0, -13/4, 0, 1,
0, -1/2048, 0, 21/1024, 0, -63/256, 0, 165/128, 0, -55/16, 0, 39/8, 0, -7/2, 0, 1,
(15:54) gp >