180527(2)

Expansion of ((1 + k*x)/(1 - k*x))^(m/k)(2)

a(0) = 0, a(1) = 1

n > 1 に対し、

a(n) = 2*m*a(n-1)/(n-1) + k^2*a(n-2)

で定められる数列{a(n)} の母関数は
x/(2*m) * d/dx ((1 + k*x)/(1 - k*x))^(m/k)

であることがわかる。

すなわち、

s, t を正の数とし、

a(0) = 0, a(1) = 1

n > 1 に対し、

a(n) = s*a(n-1)/(n-1) + t*a(n-2)

で定められる数列{a(n)} の母関数は
x/s * d/dx ((1 + √t*x)/(1 - √t*x))^(s/(2*√t))

であることがわかる。