180826

Ruby

a_0^k + 1 == a_1, a_1^k + 1 =＝ a_2, ... , a_8^k + 1 ＝= a_9 かつ a_9^k + 1 =＝ a_0 mod 10^m なる整数

k = 5, 9, 13 のときを出力してみた。

def f(k, m, a)
  (a ** k + 1) % (10 ** m)
end

def A(k, m, n)
  s = 0
  a = m
  while s < n
    s += 1
    (0..9).each{|i|
      a0 = i * 10 ** s + a
      10.times{a0 = f(k, s + 1, a0)}
      if a0 == (i * 10 ** s + a)
        a = a0
        break
      end
    }
  end
  a
end

def B(k, n)
  (0..9).each{|i|
    p [k, i, a = A(k, i, n)]
    10.times{
      print "#{a}^#{k} + 1 == "
      a = f(k, n + 1, a)
      puts "#{a} mod 10^#{n + 1}"
    }
  }
end

B( 5, 10)
B( 9, 18)
B(13, 25)

出力結果
[5, 0, 34474674850]
34474674850^5 + 1 == 67812500001 mod 10^11
67812500001^5 + 1 == 39062500002 mod 10^11
39062500002^5 + 1 == 25000000033 mod 10^11
25000000033^5 + 1 == 25039135394 mod 10^11
25039135394^5 + 1 == 85011784225 mod 10^11
85011784225^5 + 1 == 17275390626 mod 10^11
17275390626^5 + 1 == 89599609377 mod 10^11
89599609377^5 + 1 == 74462890658 mod 10^11
74462890658^5 + 1 == 75576244769 mod 10^11
75576244769^5 + 1 == 34474674850 mod 10^11
[5, 1, 67812500001]
67812500001^5 + 1 == 39062500002 mod 10^11
39062500002^5 + 1 == 25000000033 mod 10^11
25000000033^5 + 1 == 25039135394 mod 10^11
25039135394^5 + 1 == 85011784225 mod 10^11
85011784225^5 + 1 == 17275390626 mod 10^11
17275390626^5 + 1 == 89599609377 mod 10^11
89599609377^5 + 1 == 74462890658 mod 10^11
74462890658^5 + 1 == 75576244769 mod 10^11
75576244769^5 + 1 == 34474674850 mod 10^11
34474674850^5 + 1 == 67812500001 mod 10^11
[5, 2, 39062500002]
39062500002^5 + 1 == 25000000033 mod 10^11
25000000033^5 + 1 == 25039135394 mod 10^11
25039135394^5 + 1 == 85011784225 mod 10^11
85011784225^5 + 1 == 17275390626 mod 10^11
17275390626^5 + 1 == 89599609377 mod 10^11
89599609377^5 + 1 == 74462890658 mod 10^11
74462890658^5 + 1 == 75576244769 mod 10^11
75576244769^5 + 1 == 34474674850 mod 10^11
34474674850^5 + 1 == 67812500001 mod 10^11
67812500001^5 + 1 == 39062500002 mod 10^11
[5, 3, 25000000033]
25000000033^5 + 1 == 25039135394 mod 10^11
25039135394^5 + 1 == 85011784225 mod 10^11
85011784225^5 + 1 == 17275390626 mod 10^11
17275390626^5 + 1 == 89599609377 mod 10^11
89599609377^5 + 1 == 74462890658 mod 10^11
74462890658^5 + 1 == 75576244769 mod 10^11
75576244769^5 + 1 == 34474674850 mod 10^11
34474674850^5 + 1 == 67812500001 mod 10^11
67812500001^5 + 1 == 39062500002 mod 10^11
39062500002^5 + 1 == 25000000033 mod 10^11
[5, 4, 25039135394]
25039135394^5 + 1 == 85011784225 mod 10^11
85011784225^5 + 1 == 17275390626 mod 10^11
17275390626^5 + 1 == 89599609377 mod 10^11
89599609377^5 + 1 == 74462890658 mod 10^11
74462890658^5 + 1 == 75576244769 mod 10^11
75576244769^5 + 1 == 34474674850 mod 10^11
34474674850^5 + 1 == 67812500001 mod 10^11
67812500001^5 + 1 == 39062500002 mod 10^11
39062500002^5 + 1 == 25000000033 mod 10^11
25000000033^5 + 1 == 25039135394 mod 10^11
[5, 5, 85011784225]
85011784225^5 + 1 == 17275390626 mod 10^11
17275390626^5 + 1 == 89599609377 mod 10^11
89599609377^5 + 1 == 74462890658 mod 10^11
74462890658^5 + 1 == 75576244769 mod 10^11
75576244769^5 + 1 == 34474674850 mod 10^11
34474674850^5 + 1 == 67812500001 mod 10^11
67812500001^5 + 1 == 39062500002 mod 10^11
39062500002^5 + 1 == 25000000033 mod 10^11
25000000033^5 + 1 == 25039135394 mod 10^11
25039135394^5 + 1 == 85011784225 mod 10^11
[5, 6, 17275390626]
17275390626^5 + 1 == 89599609377 mod 10^11
89599609377^5 + 1 == 74462890658 mod 10^11
74462890658^5 + 1 == 75576244769 mod 10^11
75576244769^5 + 1 == 34474674850 mod 10^11
34474674850^5 + 1 == 67812500001 mod 10^11
67812500001^5 + 1 == 39062500002 mod 10^11
39062500002^5 + 1 == 25000000033 mod 10^11
25000000033^5 + 1 == 25039135394 mod 10^11
25039135394^5 + 1 == 85011784225 mod 10^11
85011784225^5 + 1 == 17275390626 mod 10^11
[5, 7, 89599609377]
89599609377^5 + 1 == 74462890658 mod 10^11
74462890658^5 + 1 == 75576244769 mod 10^11
75576244769^5 + 1 == 34474674850 mod 10^11
34474674850^5 + 1 == 67812500001 mod 10^11
67812500001^5 + 1 == 39062500002 mod 10^11
39062500002^5 + 1 == 25000000033 mod 10^11
25000000033^5 + 1 == 25039135394 mod 10^11
25039135394^5 + 1 == 85011784225 mod 10^11
85011784225^5 + 1 == 17275390626 mod 10^11
17275390626^5 + 1 == 89599609377 mod 10^11
[5, 8, 74462890658]
74462890658^5 + 1 == 75576244769 mod 10^11
75576244769^5 + 1 == 34474674850 mod 10^11
34474674850^5 + 1 == 67812500001 mod 10^11
67812500001^5 + 1 == 39062500002 mod 10^11
39062500002^5 + 1 == 25000000033 mod 10^11
25000000033^5 + 1 == 25039135394 mod 10^11
25039135394^5 + 1 == 85011784225 mod 10^11
85011784225^5 + 1 == 17275390626 mod 10^11
17275390626^5 + 1 == 89599609377 mod 10^11
89599609377^5 + 1 == 74462890658 mod 10^11
[5, 9, 75576244769]
75576244769^5 + 1 == 34474674850 mod 10^11
34474674850^5 + 1 == 67812500001 mod 10^11
67812500001^5 + 1 == 39062500002 mod 10^11
39062500002^5 + 1 == 25000000033 mod 10^11
25000000033^5 + 1 == 25039135394 mod 10^11
25039135394^5 + 1 == 85011784225 mod 10^11
85011784225^5 + 1 == 17275390626 mod 10^11
17275390626^5 + 1 == 89599609377 mod 10^11
89599609377^5 + 1 == 74462890658 mod 10^11
74462890658^5 + 1 == 75576244769 mod 10^11
[9, 0, 7644773889965429250]
7644773889965429250^9 + 1 == 7705078125000000001 mod 10^19
7705078125000000001^9 + 1 == 9345703125000000002 mod 10^19
9345703125000000002^9 + 1 == 2500000000000000513 mod 10^19
2500000000000000513^9 + 1 == 8996619787545743874 mod 10^19
8996619787545743874^9 + 1 == 3747888971752538625 mod 10^19
3747888971752538625^9 + 1 == 1601963043212890626 mod 10^19
1601963043212890626^9 + 1 == 5448818206787109377 mod 10^19
5448818206787109377^9 + 1 == 6396884918212891138 mod 10^19
6396884918212891138^9 + 1 == 5099734869332853249 mod 10^19
5099734869332853249^9 + 1 == 7644773889965429250 mod 10^19
[9, 1, 7705078125000000001]
7705078125000000001^9 + 1 == 9345703125000000002 mod 10^19
9345703125000000002^9 + 1 == 2500000000000000513 mod 10^19
2500000000000000513^9 + 1 == 8996619787545743874 mod 10^19
8996619787545743874^9 + 1 == 3747888971752538625 mod 10^19
3747888971752538625^9 + 1 == 1601963043212890626 mod 10^19
1601963043212890626^9 + 1 == 5448818206787109377 mod 10^19
5448818206787109377^9 + 1 == 6396884918212891138 mod 10^19
6396884918212891138^9 + 1 == 5099734869332853249 mod 10^19
5099734869332853249^9 + 1 == 7644773889965429250 mod 10^19
7644773889965429250^9 + 1 == 7705078125000000001 mod 10^19
[9, 2, 9345703125000000002]
9345703125000000002^9 + 1 == 2500000000000000513 mod 10^19
2500000000000000513^9 + 1 == 8996619787545743874 mod 10^19
8996619787545743874^9 + 1 == 3747888971752538625 mod 10^19
3747888971752538625^9 + 1 == 1601963043212890626 mod 10^19
1601963043212890626^9 + 1 == 5448818206787109377 mod 10^19
5448818206787109377^9 + 1 == 6396884918212891138 mod 10^19
6396884918212891138^9 + 1 == 5099734869332853249 mod 10^19
5099734869332853249^9 + 1 == 7644773889965429250 mod 10^19
7644773889965429250^9 + 1 == 7705078125000000001 mod 10^19
7705078125000000001^9 + 1 == 9345703125000000002 mod 10^19
[9, 3, 2500000000000000513]
2500000000000000513^9 + 1 == 8996619787545743874 mod 10^19
8996619787545743874^9 + 1 == 3747888971752538625 mod 10^19
3747888971752538625^9 + 1 == 1601963043212890626 mod 10^19
1601963043212890626^9 + 1 == 5448818206787109377 mod 10^19
5448818206787109377^9 + 1 == 6396884918212891138 mod 10^19
6396884918212891138^9 + 1 == 5099734869332853249 mod 10^19
5099734869332853249^9 + 1 == 7644773889965429250 mod 10^19
7644773889965429250^9 + 1 == 7705078125000000001 mod 10^19
7705078125000000001^9 + 1 == 9345703125000000002 mod 10^19
9345703125000000002^9 + 1 == 2500000000000000513 mod 10^19
[9, 4, 8996619787545743874]
8996619787545743874^9 + 1 == 3747888971752538625 mod 10^19
3747888971752538625^9 + 1 == 1601963043212890626 mod 10^19
1601963043212890626^9 + 1 == 5448818206787109377 mod 10^19
5448818206787109377^9 + 1 == 6396884918212891138 mod 10^19
6396884918212891138^9 + 1 == 5099734869332853249 mod 10^19
5099734869332853249^9 + 1 == 7644773889965429250 mod 10^19
7644773889965429250^9 + 1 == 7705078125000000001 mod 10^19
7705078125000000001^9 + 1 == 9345703125000000002 mod 10^19
9345703125000000002^9 + 1 == 2500000000000000513 mod 10^19
2500000000000000513^9 + 1 == 8996619787545743874 mod 10^19
[9, 5, 3747888971752538625]
3747888971752538625^9 + 1 == 1601963043212890626 mod 10^19
1601963043212890626^9 + 1 == 5448818206787109377 mod 10^19
5448818206787109377^9 + 1 == 6396884918212891138 mod 10^19
6396884918212891138^9 + 1 == 5099734869332853249 mod 10^19
5099734869332853249^9 + 1 == 7644773889965429250 mod 10^19
7644773889965429250^9 + 1 == 7705078125000000001 mod 10^19
7705078125000000001^9 + 1 == 9345703125000000002 mod 10^19
9345703125000000002^9 + 1 == 2500000000000000513 mod 10^19
2500000000000000513^9 + 1 == 8996619787545743874 mod 10^19
8996619787545743874^9 + 1 == 3747888971752538625 mod 10^19
[9, 6, 1601963043212890626]
1601963043212890626^9 + 1 == 5448818206787109377 mod 10^19
5448818206787109377^9 + 1 == 6396884918212891138 mod 10^19
6396884918212891138^9 + 1 == 5099734869332853249 mod 10^19
5099734869332853249^9 + 1 == 7644773889965429250 mod 10^19
7644773889965429250^9 + 1 == 7705078125000000001 mod 10^19
7705078125000000001^9 + 1 == 9345703125000000002 mod 10^19
9345703125000000002^9 + 1 == 2500000000000000513 mod 10^19
2500000000000000513^9 + 1 == 8996619787545743874 mod 10^19
8996619787545743874^9 + 1 == 3747888971752538625 mod 10^19
3747888971752538625^9 + 1 == 1601963043212890626 mod 10^19
[9, 7, 5448818206787109377]
5448818206787109377^9 + 1 == 6396884918212891138 mod 10^19
6396884918212891138^9 + 1 == 5099734869332853249 mod 10^19
5099734869332853249^9 + 1 == 7644773889965429250 mod 10^19
7644773889965429250^9 + 1 == 7705078125000000001 mod 10^19
7705078125000000001^9 + 1 == 9345703125000000002 mod 10^19
9345703125000000002^9 + 1 == 2500000000000000513 mod 10^19
2500000000000000513^9 + 1 == 8996619787545743874 mod 10^19
8996619787545743874^9 + 1 == 3747888971752538625 mod 10^19
3747888971752538625^9 + 1 == 1601963043212890626 mod 10^19
1601963043212890626^9 + 1 == 5448818206787109377 mod 10^19
[9, 8, 6396884918212891138]
6396884918212891138^9 + 1 == 5099734869332853249 mod 10^19
5099734869332853249^9 + 1 == 7644773889965429250 mod 10^19
7644773889965429250^9 + 1 == 7705078125000000001 mod 10^19
7705078125000000001^9 + 1 == 9345703125000000002 mod 10^19
9345703125000000002^9 + 1 == 2500000000000000513 mod 10^19
2500000000000000513^9 + 1 == 8996619787545743874 mod 10^19
8996619787545743874^9 + 1 == 3747888971752538625 mod 10^19
3747888971752538625^9 + 1 == 1601963043212890626 mod 10^19
1601963043212890626^9 + 1 == 5448818206787109377 mod 10^19
5448818206787109377^9 + 1 == 6396884918212891138 mod 10^19
[9, 9, 5099734869332853249]
5099734869332853249^9 + 1 == 7644773889965429250 mod 10^19
7644773889965429250^9 + 1 == 7705078125000000001 mod 10^19
7705078125000000001^9 + 1 == 9345703125000000002 mod 10^19
9345703125000000002^9 + 1 == 2500000000000000513 mod 10^19
2500000000000000513^9 + 1 == 8996619787545743874 mod 10^19
8996619787545743874^9 + 1 == 3747888971752538625 mod 10^19
3747888971752538625^9 + 1 == 1601963043212890626 mod 10^19
1601963043212890626^9 + 1 == 5448818206787109377 mod 10^19
5448818206787109377^9 + 1 == 6396884918212891138 mod 10^19
6396884918212891138^9 + 1 == 5099734869332853249 mod 10^19
[13, 0, 39144011045769493937758210]
39144011045769493937758210^13 + 1 == 80442115808610000000000001 mod 10^26
80442115808610000000000001^13 + 1 == 45747505511930000000000002 mod 10^26
45747505511930000000000002^13 + 1 == 63173499248640000000008193 mod 10^26
63173499248640000000008193^13 + 1 == 21065823615157541531656194 mod 10^26
21065823615157541531656194^13 + 1 == 61598259414509575724867585 mod 10^26
61598259414509575724867585^13 + 1 == 57987867439869918212890626 mod 10^26
57987867439869918212890626^13 + 1 == 68201753880670081787109377 mod 10^26
68201753880670081787109377^13 + 1 == 40719250879899918212898818 mod 10^26
40719250879899918212898818^13 + 1 == 43520071983897623318765569 mod 10^26
43520071983897623318765569^13 + 1 == 39144011045769493937758210 mod 10^26
[13, 1, 80442115808610000000000001]
80442115808610000000000001^13 + 1 == 45747505511930000000000002 mod 10^26
45747505511930000000000002^13 + 1 == 63173499248640000000008193 mod 10^26
63173499248640000000008193^13 + 1 == 21065823615157541531656194 mod 10^26
21065823615157541531656194^13 + 1 == 61598259414509575724867585 mod 10^26
61598259414509575724867585^13 + 1 == 57987867439869918212890626 mod 10^26
57987867439869918212890626^13 + 1 == 68201753880670081787109377 mod 10^26
68201753880670081787109377^13 + 1 == 40719250879899918212898818 mod 10^26
40719250879899918212898818^13 + 1 == 43520071983897623318765569 mod 10^26
43520071983897623318765569^13 + 1 == 39144011045769493937758210 mod 10^26
39144011045769493937758210^13 + 1 == 80442115808610000000000001 mod 10^26
[13, 2, 45747505511930000000000002]
45747505511930000000000002^13 + 1 == 63173499248640000000008193 mod 10^26
63173499248640000000008193^13 + 1 == 21065823615157541531656194 mod 10^26
21065823615157541531656194^13 + 1 == 61598259414509575724867585 mod 10^26
61598259414509575724867585^13 + 1 == 57987867439869918212890626 mod 10^26
57987867439869918212890626^13 + 1 == 68201753880670081787109377 mod 10^26
68201753880670081787109377^13 + 1 == 40719250879899918212898818 mod 10^26
40719250879899918212898818^13 + 1 == 43520071983897623318765569 mod 10^26
43520071983897623318765569^13 + 1 == 39144011045769493937758210 mod 10^26
39144011045769493937758210^13 + 1 == 80442115808610000000000001 mod 10^26
80442115808610000000000001^13 + 1 == 45747505511930000000000002 mod 10^26
[13, 3, 63173499248640000000008193]
63173499248640000000008193^13 + 1 == 21065823615157541531656194 mod 10^26
21065823615157541531656194^13 + 1 == 61598259414509575724867585 mod 10^26
61598259414509575724867585^13 + 1 == 57987867439869918212890626 mod 10^26
57987867439869918212890626^13 + 1 == 68201753880670081787109377 mod 10^26
68201753880670081787109377^13 + 1 == 40719250879899918212898818 mod 10^26
40719250879899918212898818^13 + 1 == 43520071983897623318765569 mod 10^26
43520071983897623318765569^13 + 1 == 39144011045769493937758210 mod 10^26
39144011045769493937758210^13 + 1 == 80442115808610000000000001 mod 10^26
80442115808610000000000001^13 + 1 == 45747505511930000000000002 mod 10^26
45747505511930000000000002^13 + 1 == 63173499248640000000008193 mod 10^26
[13, 4, 21065823615157541531656194]
21065823615157541531656194^13 + 1 == 61598259414509575724867585 mod 10^26
61598259414509575724867585^13 + 1 == 57987867439869918212890626 mod 10^26
57987867439869918212890626^13 + 1 == 68201753880670081787109377 mod 10^26
68201753880670081787109377^13 + 1 == 40719250879899918212898818 mod 10^26
40719250879899918212898818^13 + 1 == 43520071983897623318765569 mod 10^26
43520071983897623318765569^13 + 1 == 39144011045769493937758210 mod 10^26
39144011045769493937758210^13 + 1 == 80442115808610000000000001 mod 10^26
80442115808610000000000001^13 + 1 == 45747505511930000000000002 mod 10^26
45747505511930000000000002^13 + 1 == 63173499248640000000008193 mod 10^26
63173499248640000000008193^13 + 1 == 21065823615157541531656194 mod 10^26
[13, 5, 61598259414509575724867585]
61598259414509575724867585^13 + 1 == 57987867439869918212890626 mod 10^26
57987867439869918212890626^13 + 1 == 68201753880670081787109377 mod 10^26
68201753880670081787109377^13 + 1 == 40719250879899918212898818 mod 10^26
40719250879899918212898818^13 + 1 == 43520071983897623318765569 mod 10^26
43520071983897623318765569^13 + 1 == 39144011045769493937758210 mod 10^26
39144011045769493937758210^13 + 1 == 80442115808610000000000001 mod 10^26
80442115808610000000000001^13 + 1 == 45747505511930000000000002 mod 10^26
45747505511930000000000002^13 + 1 == 63173499248640000000008193 mod 10^26
63173499248640000000008193^13 + 1 == 21065823615157541531656194 mod 10^26
21065823615157541531656194^13 + 1 == 61598259414509575724867585 mod 10^26
[13, 6, 57987867439869918212890626]
57987867439869918212890626^13 + 1 == 68201753880670081787109377 mod 10^26
68201753880670081787109377^13 + 1 == 40719250879899918212898818 mod 10^26
40719250879899918212898818^13 + 1 == 43520071983897623318765569 mod 10^26
43520071983897623318765569^13 + 1 == 39144011045769493937758210 mod 10^26
39144011045769493937758210^13 + 1 == 80442115808610000000000001 mod 10^26
80442115808610000000000001^13 + 1 == 45747505511930000000000002 mod 10^26
45747505511930000000000002^13 + 1 == 63173499248640000000008193 mod 10^26
63173499248640000000008193^13 + 1 == 21065823615157541531656194 mod 10^26
21065823615157541531656194^13 + 1 == 61598259414509575724867585 mod 10^26
61598259414509575724867585^13 + 1 == 57987867439869918212890626 mod 10^26
[13, 7, 68201753880670081787109377]
68201753880670081787109377^13 + 1 == 40719250879899918212898818 mod 10^26
40719250879899918212898818^13 + 1 == 43520071983897623318765569 mod 10^26
43520071983897623318765569^13 + 1 == 39144011045769493937758210 mod 10^26
39144011045769493937758210^13 + 1 == 80442115808610000000000001 mod 10^26
80442115808610000000000001^13 + 1 == 45747505511930000000000002 mod 10^26
45747505511930000000000002^13 + 1 == 63173499248640000000008193 mod 10^26
63173499248640000000008193^13 + 1 == 21065823615157541531656194 mod 10^26
21065823615157541531656194^13 + 1 == 61598259414509575724867585 mod 10^26
61598259414509575724867585^13 + 1 == 57987867439869918212890626 mod 10^26
57987867439869918212890626^13 + 1 == 68201753880670081787109377 mod 10^26
[13, 8, 40719250879899918212898818]
40719250879899918212898818^13 + 1 == 43520071983897623318765569 mod 10^26
43520071983897623318765569^13 + 1 == 39144011045769493937758210 mod 10^26
39144011045769493937758210^13 + 1 == 80442115808610000000000001 mod 10^26
80442115808610000000000001^13 + 1 == 45747505511930000000000002 mod 10^26
45747505511930000000000002^13 + 1 == 63173499248640000000008193 mod 10^26
63173499248640000000008193^13 + 1 == 21065823615157541531656194 mod 10^26
21065823615157541531656194^13 + 1 == 61598259414509575724867585 mod 10^26
61598259414509575724867585^13 + 1 == 57987867439869918212890626 mod 10^26
57987867439869918212890626^13 + 1 == 68201753880670081787109377 mod 10^26
68201753880670081787109377^13 + 1 == 40719250879899918212898818 mod 10^26
[13, 9, 43520071983897623318765569]
43520071983897623318765569^13 + 1 == 39144011045769493937758210 mod 10^26
39144011045769493937758210^13 + 1 == 80442115808610000000000001 mod 10^26
80442115808610000000000001^13 + 1 == 45747505511930000000000002 mod 10^26
45747505511930000000000002^13 + 1 == 63173499248640000000008193 mod 10^26
63173499248640000000008193^13 + 1 == 21065823615157541531656194 mod 10^26
21065823615157541531656194^13 + 1 == 61598259414509575724867585 mod 10^26
61598259414509575724867585^13 + 1 == 57987867439869918212890626 mod 10^26
57987867439869918212890626^13 + 1 == 68201753880670081787109377 mod 10^26
68201753880670081787109377^13 + 1 == 40719250879899918212898818 mod 10^26
40719250879899918212898818^13 + 1 == 43520071983897623318765569 mod 10^26