2^n に現れる数字についての予想の紹介
0から9まで全ての数字が少なくとも1回は現れる数のうち最小のものは何？
という問題の答えは、
1023456789
とすぐわかります。
0から9まで全ての数字が少なくとも1回は現れる平方数のうち最小のものは何？
という問題の答えは、
例えば平方数を小さいものから調べて、
1026753849 (=32043^2)
とわかります。
0から9まで全ての数字が少なくとも1回は現れる立方数のうち最小のものは何？
という問題の答えは、
例えば立方数を小さいものから調べて、
12584301976 (=2326^3)
とわかります。
では、一般に
0から9まで全ての数字が少なくとも1回は現れるn乗数のうち最小のものは何？
という問題の答えはどうなるでしょうか？
各n に対し、条件を満たす数をa(n) とおき、
b(n) = a(n)^(1/n) とおきます。
b(n) が0 や1 でないことは明らかです。
n > 1 のときb(n) の具体的な値を出力してみます。
def all_digits?(n)
n.to_s.split('').uniq.size == 10
end
def b(n)
k = 2
while !all_digits?(k ** n)
k += 1
end
k
end
n = 200
(2..n).each{|i|
print i
print ' '
puts b(i)
}
出力結果
2 32043
3 2326
4 763
5 309
6 159
7 56
8 104
9 49
10 36
11 25
12 15
13 25
14 17
15 17
16 15
17 16
18 7
19 5
20 6
21 6
22 5
23 11
24 9
25 14
26 5
27 5
28 5
29 5
30 9
31 5
32 8
33 11
34 4
35 4
36 6
37 5
38 7
39 3
40 5
41 4
42 4
43 6
44 4
45 3
46 6
47 3
48 3
49 4
50 4
51 5
52 4
53 3
54 6
55 4
56 4
57 3
58 4
59 4
60 3
61 3
62 3
63 3
64 3
65 3
66 4
67 3
68 2
69 3
70 2
71 3
72 3
73 3
74 3
75 4
76 3
77 3
78 3
79 2
80 3
81 4
82 2
83 3
84 2
85 3
86 3
87 2
88 2
89 2
90 3
91 4
92 3
93 3
94 2
95 2
96 2
97 2
98 2
99 3
100 2
101 2
102 3
103 2
104 2
105 2
106 2
107 3
108 3
109 2
110 2
111 2
112 2
113 2
114 2
115 2
116 2
117 2
118 2
119 2
120 2
121 2
122 2
123 2
124 2
125 2
126 2
127 2
128 2
129 2
130 2
131 2
132 2
133 2
134 2
135 2
136 2
137 2
138 2
139 2
140 2
141 2
142 2
143 2
144 2
145 2
146 2
147 2
148 2
149 2
150 2
151 2
152 2
153 3
154 2
155 2
156 2
157 2
158 2
159 2
160 2
161 2
162 2
163 2
164 2
165 2
166 2
167 2
168 3
169 2
170 2
171 2
172 2
173 2
174 2
175 2
176 2
177 2
178 2
179 2
180 2
181 2
182 2
183 2
184 2
185 2
186 2
187 2
188 2
189 2
190 2
191 2
192 2
193 2
194 2
195 2
196 2
197 2
198 2
199 2
200 2
n > 168 のとき、b(n) = 2 となることが予想されます。
言い換えれば、
n > 168 のとき、2^n について0から9まで全ての数字が少なくとも1回は現れる
という予想ができます。
実はOEISにおいて、
前者バージョンはA020666において予想されており、
また後者バージョンはA137214において予想されております。
一般に、ある数字や数字の並びが含まれるかどうかを問う問題は、難しいことが多いのでおそらく未解決のままであり続けるかもしれませんが、個人的に面白いと思ったので今回紹介しました。
余談ですが、この問題を調べているときに、
0から9まで全ての数字が少なくとも1回は現れる最小の2の冪乗は
295147905179352825856 (=2^68)
であり、意外に大きいと感じました。
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