191023(2)

PARI


Lehmer's Second Interesting Series(2)

A180875 に載せた式を確認してみる。

(01:34) gp > N=20; x='x+O('x^N);
(01:35) gp > Vec(serlaplace(2*(asin(exp(x/2)/sqrt(2))-Pi/4)*sqrt(exp(x)/(2-exp(x))^3)+exp(x)/(2-exp(x))))
%2 = [1.0000000000000000000000000000000000000, 3.0000000000000000000000000000000000000, 11.000000000000000000000000000000000000, 55.000000000000000000000000000000000000, 355.00000000000000000000000000000000000, 2807.0000000000000000000000000000000000, 26259.000000000000000000000000000000000, 283623.00000000000000000000000000000000, 3473315.0000000000000000000000000000000, 47552791.000000000000000000000000000000, 719718067.00000000000000000000000000000, 11932268231.000000000000000000000000000, 215053088835.00000000000000000000000000, 4186305575415.0000000000000000000000000, 87534887434835.000000000000000000000000, 1956680617267879.0000000000000000000000, 46561960552921315.000000000000000000000, 1175204650272267479.0000000000000000000, 31357650670190565363.000000000000000000, 881958890078887314567.00000000000000000]

191023

PARI


Lehmer's Second Interesting Series(1)

S0(2) = 1 * π/2 + 1,
S1(2) = 2 * π/2 + 3,
S2(2) = 7 * π/2 + 11,
S3(2) = 35 * π/2 + 55,
...
となるが、
数列　1, 2, 7, 35, ...
と
数列　1, 3, 11, 55, ...
を出力してみた。

(01:26) gp > N=20; x='x+O('x^N); f=sqrt(exp(x)/(2-exp(x))); Vec(serlaplace(f/(2-exp(x))))
%1 = [1, 2, 7, 35, 226, 1787, 16717, 180560, 2211181, 30273047, 458186752, 7596317885, 136907048461, 2665084902482, 55726440112987, 1245661569161135, 29642264728189066, 748158516941653967, 19962900431638852297, 561472467839585937560]
(01:26) gp > Vec(serlaplace(deriv(f*intformal(f))))
%2 = [1, 3, 11, 55, 355, 2807, 26259, 283623, 3473315, 47552791, 719718067, 11932268231, 215053088835, 4186305575415, 87534887434835, 1956680617267879, 46561960552921315, 1175204650272267479, 31357650670190565363, 881958890078887314567]
(01:26) gp >

191006

Ruby


604937061729 の秘密

twitter で
666666 = 604937 + 61729
√604937061729 = 777777
を見かけたので、他にも探してみた。

def A(m, d, n)
  str = (n * n).to_s
  s = str.size
  (0..s - 2).each{|i|
    j, k = str[0..i].to_i, str[i + 1..-1].to_i
    if (j + k).to_s.split('').uniq.size <= m
      puts "#{n}^2 = #{str.rjust(2 * d)},"
      puts "  #{j + k} = #{j.to_s.rjust(i + 1 + 2 * d - s)} + #{k.to_s.rjust(s - i - 1)}"
    end
  }
end

(1..27).each{|i|
  k = (10 ** i - 1) / 9
  (1..9).each{|j|
    A(1, i, j * k)
  }
}

出力結果
4^2 = 16,
  7 = 1 + 6
5^2 = 25,
  7 = 2 + 5
6^2 = 36,
  9 = 3 + 6
9^2 = 81,
  9 = 8 + 1
11^2 =  121,
  22 =  1 + 21
22^2 =  484,
  88 =  4 + 84
33^2 = 1089,
  99 = 10 + 89
44^2 = 1936,
  55 = 19 + 36
55^2 = 3025,
  55 = 30 + 25
66^2 = 4356,
  99 = 43 + 56
77^2 = 5929,
  88 = 59 + 29
99^2 = 9801,
  99 = 98 +  1
111^2 =  12321,
  333 =  12 + 321
222^2 =  49284,
  333 =  49 + 284
333^2 = 110889,
  999 = 110 + 889
444^2 = 197136,
  333 = 197 + 136
555^2 = 308025,
  333 = 308 +  25
666^2 = 443556,
  999 = 443 + 556
999^2 = 998001,
  999 = 998 +   1
1111^2 =  1234321,
  4444 =  123 + 4321
2222^2 =  4937284,
  7777 =  493 + 7284
3333^2 = 11108889,
  9999 = 1110 + 8889
6666^2 = 44435556,
  9999 = 4443 + 5556
7777^2 = 60481729,
  7777 = 6048 + 1729
9999^2 = 99980001,
  9999 = 9998 +    1
11111^2 =  123454321,
  55555 =  1234 + 54321
22222^2 =  493817284,
  22222 =  4938 + 17284
33333^2 = 1111088889,
  99999 = 11110 + 88889
44444^2 = 1975269136,
  88888 = 19752 + 69136
55555^2 = 3086358025,
  88888 = 30863 + 58025
66666^2 = 4444355556,
  99999 = 44443 + 55556
99999^2 = 9999800001,
  99999 = 99998 +     1
111111^2 =  12345654321,
  666666 =  12345 + 654321
222222^2 =  49382617284,
  666666 =  49382 + 617284
333333^2 = 111110888889,
  999999 = 111110 + 888889
444444^2 = 197530469136,
  666666 = 197530 + 469136
555555^2 = 308641358025,
  666666 = 308641 + 358025
666666^2 = 444443555556,
  999999 = 444443 + 555556
777777^2 = 604937061729,
  666666 = 604937 +  61729
999999^2 = 999998000001,
  999999 = 999998 +      1
1111111^2 =  1234567654321,
  7777777 =  123456 + 7654321
2222222^2 =  4938270617284,
  1111111 =  493827 +  617284
3333333^2 = 11111108888889,
  9999999 = 1111110 + 8888889
4444444^2 = 19753082469136,
  4444444 = 1975308 + 2469136
5555555^2 = 30864191358025,
  4444444 = 3086419 + 1358025
6666666^2 = 44444435555556,
  9999999 = 4444443 + 5555556
9999999^2 = 99999980000001,
  9999999 = 9999998 +       1
11111111^2 =  123456787654321,
  88888888 =  1234567 + 87654321
22222222^2 =  493827150617284,
  55555555 =  4938271 + 50617284
33333333^2 = 1111111088888889,
  99999999 = 11111110 + 88888889
44444444^2 = 1975308602469136,
  22222222 = 19753086 +  2469136
66666666^2 = 4444444355555556,
  99999999 = 44444443 + 55555556
88888888^2 = 7901234409876544,
  88888888 = 79012344 +  9876544
99999999^2 = 9999999800000001,
  99999999 = 99999998 +        1
111111111^2 =  12345678987654321,
  999999999 =  12345678 + 987654321
222222222^2 =  49382715950617284,
  999999999 =  49382715 + 950617284
333333333^2 = 111111110888888889,
  999999999 = 111111110 + 888888889
444444444^2 = 197530863802469136,
  999999999 = 197530863 + 802469136
555555555^2 = 308641974691358025,
  999999999 = 308641974 + 691358025
666666666^2 = 444444443555555556,
  999999999 = 444444443 + 555555556
777777777^2 = 604938270395061729,
  999999999 = 604938270 + 395061729
888888888^2 = 790123455209876544,
  999999999 = 790123455 + 209876544
999999999^2 = 999999998000000001,
  999999999 = 999999998 +         1
1111111111^2 =  1234567900987654321,
  1111111111 =  123456790 +  987654321
2222222222^2 =  4938271603950617284,
  4444444444 =  493827160 + 3950617284
3333333333^2 = 11111111108888888889,
  9999999999 = 1111111110 + 8888888889
4444444444^2 = 19753086415802469136,
  7777777777 = 1975308641 + 5802469136
5555555555^2 = 30864197524691358025,
  7777777777 = 3086419752 + 4691358025
6666666666^2 = 44444444435555555556,
  9999999999 = 4444444443 + 5555555556
9999999999^2 = 99999999980000000001,
  9999999999 = 9999999998 +          1
11111111111^2 =  123456790120987654321,
  22222222222 =  1234567901 + 20987654321
22222222222^2 =  493827160483950617284,
  88888888888 =  4938271604 + 83950617284
33333333333^2 = 1111111111088888888889,
  99999999999 = 11111111110 + 88888888889
44444444444^2 = 1975308641935802469136,
  55555555555 = 19753086419 + 35802469136
55555555555^2 = 3086419753024691358025,
  55555555555 = 30864197530 + 24691358025
66666666666^2 = 4444444444355555555556,
  99999999999 = 44444444443 + 55555555556
77777777777^2 = 6049382715928395061729,
  88888888888 = 60493827159 + 28395061729
99999999999^2 = 9999999999800000000001,
  99999999999 = 99999999998 +           1
111111111111^2 =  12345679012320987654321,
  333333333333 =  12345679012 + 320987654321
222222222222^2 =  49382716049283950617284,
  333333333333 =  49382716049 + 283950617284
333333333333^2 = 111111111110888888888889,
  999999999999 = 111111111110 + 888888888889
444444444444^2 = 197530864197135802469136,
  333333333333 = 197530864197 + 135802469136
555555555555^2 = 308641975308024691358025,
  333333333333 = 308641975308 +  24691358025
666666666666^2 = 444444444443555555555556,
  999999999999 = 444444444443 + 555555555556
999999999999^2 = 999999999998000000000001,
  999999999999 = 999999999998 +            1
1111111111111^2 =  1234567901234320987654321,
  4444444444444 =  123456790123 + 4320987654321
2222222222222^2 =  4938271604937283950617284,
  7777777777777 =  493827160493 + 7283950617284
3333333333333^2 = 11111111111108888888888889,
  9999999999999 = 1111111111110 + 8888888888889
6666666666666^2 = 44444444444435555555555556,
  9999999999999 = 4444444444443 + 5555555555556
7777777777777^2 = 60493827160481728395061729,
  7777777777777 = 6049382716048 + 1728395061729
9999999999999^2 = 99999999999980000000000001,
  9999999999999 = 9999999999998 +             1
11111111111111^2 =  123456790123454320987654321,
  55555555555555 =  1234567901234 + 54320987654321
22222222222222^2 =  493827160493817283950617284,
  22222222222222 =  4938271604938 + 17283950617284
33333333333333^2 = 1111111111111088888888888889,
  99999999999999 = 11111111111110 + 88888888888889
44444444444444^2 = 1975308641975269135802469136,
  88888888888888 = 19753086419752 + 69135802469136
55555555555555^2 = 3086419753086358024691358025,
  88888888888888 = 30864197530863 + 58024691358025
66666666666666^2 = 4444444444444355555555555556,
  99999999999999 = 44444444444443 + 55555555555556
99999999999999^2 = 9999999999999800000000000001,
  99999999999999 = 99999999999998 +              1
111111111111111^2 =  12345679012345654320987654321,
  666666666666666 =  12345679012345 + 654320987654321
222222222222222^2 =  49382716049382617283950617284,
  666666666666666 =  49382716049382 + 617283950617284
333333333333333^2 = 111111111111110888888888888889,
  999999999999999 = 111111111111110 + 888888888888889
444444444444444^2 = 197530864197530469135802469136,
  666666666666666 = 197530864197530 + 469135802469136
555555555555555^2 = 308641975308641358024691358025,
  666666666666666 = 308641975308641 + 358024691358025
666666666666666^2 = 444444444444443555555555555556,
  999999999999999 = 444444444444443 + 555555555555556
777777777777777^2 = 604938271604937061728395061729,
  666666666666666 = 604938271604937 +  61728395061729
999999999999999^2 = 999999999999998000000000000001,
  999999999999999 = 999999999999998 +               1
1111111111111111^2 =  1234567901234567654320987654321,
  7777777777777777 =  123456790123456 + 7654320987654321
2222222222222222^2 =  4938271604938270617283950617284,
  1111111111111111 =  493827160493827 +  617283950617284
3333333333333333^2 = 11111111111111108888888888888889,
  9999999999999999 = 1111111111111110 + 8888888888888889
4444444444444444^2 = 19753086419753082469135802469136,
  4444444444444444 = 1975308641975308 + 2469135802469136
5555555555555555^2 = 30864197530864191358024691358025,
  4444444444444444 = 3086419753086419 + 1358024691358025
6666666666666666^2 = 44444444444444435555555555555556,
  9999999999999999 = 4444444444444443 + 5555555555555556
9999999999999999^2 = 99999999999999980000000000000001,
  9999999999999999 = 9999999999999998 +                1
11111111111111111^2 =  123456790123456787654320987654321,
  88888888888888888 =  1234567901234567 + 87654320987654321
22222222222222222^2 =  493827160493827150617283950617284,
  55555555555555555 =  4938271604938271 + 50617283950617284
33333333333333333^2 = 1111111111111111088888888888888889,
  99999999999999999 = 11111111111111110 + 88888888888888889
44444444444444444^2 = 1975308641975308602469135802469136,
  22222222222222222 = 19753086419753086 +  2469135802469136
66666666666666666^2 = 4444444444444444355555555555555556,
  99999999999999999 = 44444444444444443 + 55555555555555556
88888888888888888^2 = 7901234567901234409876543209876544,
  88888888888888888 = 79012345679012344 +  9876543209876544
99999999999999999^2 = 9999999999999999800000000000000001,
  99999999999999999 = 99999999999999998 +                 1
111111111111111111^2 =  12345679012345678987654320987654321,
  999999999999999999 =  12345679012345678 + 987654320987654321
222222222222222222^2 =  49382716049382715950617283950617284,
  999999999999999999 =  49382716049382715 + 950617283950617284
333333333333333333^2 = 111111111111111110888888888888888889,
  999999999999999999 = 111111111111111110 + 888888888888888889
444444444444444444^2 = 197530864197530863802469135802469136,
  999999999999999999 = 197530864197530863 + 802469135802469136
555555555555555555^2 = 308641975308641974691358024691358025,
  999999999999999999 = 308641975308641974 + 691358024691358025
666666666666666666^2 = 444444444444444443555555555555555556,
  999999999999999999 = 444444444444444443 + 555555555555555556
777777777777777777^2 = 604938271604938270395061728395061729,
  999999999999999999 = 604938271604938270 + 395061728395061729
888888888888888888^2 = 790123456790123455209876543209876544,
  999999999999999999 = 790123456790123455 + 209876543209876544
999999999999999999^2 = 999999999999999998000000000000000001,
  999999999999999999 = 999999999999999998 +                  1
1111111111111111111^2 =  1234567901234567900987654320987654321,
  1111111111111111111 =  123456790123456790 +  987654320987654321
2222222222222222222^2 =  4938271604938271603950617283950617284,
  4444444444444444444 =  493827160493827160 + 3950617283950617284
3333333333333333333^2 = 11111111111111111108888888888888888889,
  9999999999999999999 = 1111111111111111110 + 8888888888888888889
4444444444444444444^2 = 19753086419753086415802469135802469136,
  7777777777777777777 = 1975308641975308641 + 5802469135802469136
5555555555555555555^2 = 30864197530864197524691358024691358025,
  7777777777777777777 = 3086419753086419752 + 4691358024691358025
6666666666666666666^2 = 44444444444444444435555555555555555556,
  9999999999999999999 = 4444444444444444443 + 5555555555555555556
9999999999999999999^2 = 99999999999999999980000000000000000001,
  9999999999999999999 = 9999999999999999998 +                   1
11111111111111111111^2 =  123456790123456790120987654320987654321,
  22222222222222222222 =  1234567901234567901 + 20987654320987654321
22222222222222222222^2 =  493827160493827160483950617283950617284,
  88888888888888888888 =  4938271604938271604 + 83950617283950617284
33333333333333333333^2 = 1111111111111111111088888888888888888889,
  99999999999999999999 = 11111111111111111110 + 88888888888888888889
44444444444444444444^2 = 1975308641975308641935802469135802469136,
  55555555555555555555 = 19753086419753086419 + 35802469135802469136
55555555555555555555^2 = 3086419753086419753024691358024691358025,
  55555555555555555555 = 30864197530864197530 + 24691358024691358025
66666666666666666666^2 = 4444444444444444444355555555555555555556,
  99999999999999999999 = 44444444444444444443 + 55555555555555555556
77777777777777777777^2 = 6049382716049382715928395061728395061729,
  88888888888888888888 = 60493827160493827159 + 28395061728395061729
99999999999999999999^2 = 9999999999999999999800000000000000000001,
  99999999999999999999 = 99999999999999999998 +                    1
111111111111111111111^2 =  12345679012345679012320987654320987654321,
  333333333333333333333 =  12345679012345679012 + 320987654320987654321
222222222222222222222^2 =  49382716049382716049283950617283950617284,
  333333333333333333333 =  49382716049382716049 + 283950617283950617284
333333333333333333333^2 = 111111111111111111110888888888888888888889,
  999999999999999999999 = 111111111111111111110 + 888888888888888888889
444444444444444444444^2 = 197530864197530864197135802469135802469136,
  333333333333333333333 = 197530864197530864197 + 135802469135802469136
555555555555555555555^2 = 308641975308641975308024691358024691358025,
  333333333333333333333 = 308641975308641975308 +  24691358024691358025
666666666666666666666^2 = 444444444444444444443555555555555555555556,
  999999999999999999999 = 444444444444444444443 + 555555555555555555556
999999999999999999999^2 = 999999999999999999998000000000000000000001,
  999999999999999999999 = 999999999999999999998 +                     1
1111111111111111111111^2 =  1234567901234567901234320987654320987654321,
  4444444444444444444444 =  123456790123456790123 + 4320987654320987654321
2222222222222222222222^2 =  4938271604938271604937283950617283950617284,
  7777777777777777777777 =  493827160493827160493 + 7283950617283950617284
3333333333333333333333^2 = 11111111111111111111108888888888888888888889,
  9999999999999999999999 = 1111111111111111111110 + 8888888888888888888889
6666666666666666666666^2 = 44444444444444444444435555555555555555555556,
  9999999999999999999999 = 4444444444444444444443 + 5555555555555555555556
7777777777777777777777^2 = 60493827160493827160481728395061728395061729,
  7777777777777777777777 = 6049382716049382716048 + 1728395061728395061729
9999999999999999999999^2 = 99999999999999999999980000000000000000000001,
  9999999999999999999999 = 9999999999999999999998 +                      1
11111111111111111111111^2 =  123456790123456790123454320987654320987654321,
  55555555555555555555555 =  1234567901234567901234 + 54320987654320987654321
22222222222222222222222^2 =  493827160493827160493817283950617283950617284,
  22222222222222222222222 =  4938271604938271604938 + 17283950617283950617284
33333333333333333333333^2 = 1111111111111111111111088888888888888888888889,
  99999999999999999999999 = 11111111111111111111110 + 88888888888888888888889
44444444444444444444444^2 = 1975308641975308641975269135802469135802469136,
  88888888888888888888888 = 19753086419753086419752 + 69135802469135802469136
55555555555555555555555^2 = 3086419753086419753086358024691358024691358025,
  88888888888888888888888 = 30864197530864197530863 + 58024691358024691358025
66666666666666666666666^2 = 4444444444444444444444355555555555555555555556,
  99999999999999999999999 = 44444444444444444444443 + 55555555555555555555556
99999999999999999999999^2 = 9999999999999999999999800000000000000000000001,
  99999999999999999999999 = 99999999999999999999998 +                       1
111111111111111111111111^2 =  12345679012345679012345654320987654320987654321,
  666666666666666666666666 =  12345679012345679012345 + 654320987654320987654321
222222222222222222222222^2 =  49382716049382716049382617283950617283950617284,
  666666666666666666666666 =  49382716049382716049382 + 617283950617283950617284
333333333333333333333333^2 = 111111111111111111111110888888888888888888888889,
  999999999999999999999999 = 111111111111111111111110 + 888888888888888888888889
444444444444444444444444^2 = 197530864197530864197530469135802469135802469136,
  666666666666666666666666 = 197530864197530864197530 + 469135802469135802469136
555555555555555555555555^2 = 308641975308641975308641358024691358024691358025,
  666666666666666666666666 = 308641975308641975308641 + 358024691358024691358025
666666666666666666666666^2 = 444444444444444444444443555555555555555555555556,
  999999999999999999999999 = 444444444444444444444443 + 555555555555555555555556
777777777777777777777777^2 = 604938271604938271604937061728395061728395061729,
  666666666666666666666666 = 604938271604938271604937 +  61728395061728395061729
999999999999999999999999^2 = 999999999999999999999998000000000000000000000001,
  999999999999999999999999 = 999999999999999999999998 +                        1
1111111111111111111111111^2 =  1234567901234567901234567654320987654320987654321,
  7777777777777777777777777 =  123456790123456790123456 + 7654320987654320987654321
2222222222222222222222222^2 =  4938271604938271604938270617283950617283950617284,
  1111111111111111111111111 =  493827160493827160493827 +  617283950617283950617284
3333333333333333333333333^2 = 11111111111111111111111108888888888888888888888889,
  9999999999999999999999999 = 1111111111111111111111110 + 8888888888888888888888889
4444444444444444444444444^2 = 19753086419753086419753082469135802469135802469136,
  4444444444444444444444444 = 1975308641975308641975308 + 2469135802469135802469136
5555555555555555555555555^2 = 30864197530864197530864191358024691358024691358025,
  4444444444444444444444444 = 3086419753086419753086419 + 1358024691358024691358025
6666666666666666666666666^2 = 44444444444444444444444435555555555555555555555556,
  9999999999999999999999999 = 4444444444444444444444443 + 5555555555555555555555556
9999999999999999999999999^2 = 99999999999999999999999980000000000000000000000001,
  9999999999999999999999999 = 9999999999999999999999998 +                         1
11111111111111111111111111^2 =  123456790123456790123456787654320987654320987654321,
  88888888888888888888888888 =  1234567901234567901234567 + 87654320987654320987654321
22222222222222222222222222^2 =  493827160493827160493827150617283950617283950617284,
  55555555555555555555555555 =  4938271604938271604938271 + 50617283950617283950617284
33333333333333333333333333^2 = 1111111111111111111111111088888888888888888888888889,
  99999999999999999999999999 = 11111111111111111111111110 + 88888888888888888888888889
44444444444444444444444444^2 = 1975308641975308641975308602469135802469135802469136,
  22222222222222222222222222 = 19753086419753086419753086 +  2469135802469135802469136
66666666666666666666666666^2 = 4444444444444444444444444355555555555555555555555556,
  99999999999999999999999999 = 44444444444444444444444443 + 55555555555555555555555556
88888888888888888888888888^2 = 7901234567901234567901234409876543209876543209876544,
  88888888888888888888888888 = 79012345679012345679012344 +  9876543209876543209876544
99999999999999999999999999^2 = 9999999999999999999999999800000000000000000000000001,
  99999999999999999999999999 = 99999999999999999999999998 +                          1
111111111111111111111111111^2 =  12345679012345679012345678987654320987654320987654321,
  999999999999999999999999999 =  12345679012345679012345678 + 987654320987654320987654321
222222222222222222222222222^2 =  49382716049382716049382715950617283950617283950617284,
  999999999999999999999999999 =  49382716049382716049382715 + 950617283950617283950617284
333333333333333333333333333^2 = 111111111111111111111111110888888888888888888888888889,
  999999999999999999999999999 = 111111111111111111111111110 + 888888888888888888888888889
444444444444444444444444444^2 = 197530864197530864197530863802469135802469135802469136,
  999999999999999999999999999 = 197530864197530864197530863 + 802469135802469135802469136
555555555555555555555555555^2 = 308641975308641975308641974691358024691358024691358025,
  999999999999999999999999999 = 308641975308641975308641974 + 691358024691358024691358025
666666666666666666666666666^2 = 444444444444444444444444443555555555555555555555555556,
  999999999999999999999999999 = 444444444444444444444444443 + 555555555555555555555555556
777777777777777777777777777^2 = 604938271604938271604938270395061728395061728395061729,
  999999999999999999999999999 = 604938271604938271604938270 + 395061728395061728395061729
888888888888888888888888888^2 = 790123456790123456790123455209876543209876543209876544,
  999999999999999999999999999 = 790123456790123456790123455 + 209876543209876543209876544
999999999999999999999999999^2 = 999999999999999999999999998000000000000000000000000001,
  999999999999999999999999999 = 999999999999999999999999998 +                           1

190929(2)

PARI


A327855

For n > 1, (Sum_{i=0..prime(n)-1} (1+Legendre(i, prime(n)) * x^i)^2 == (-1)^((p - 1)/2) * p mod ((x^p - 1)/(x - 1)) where p is n-th prime

となることを確認しておく。

(16:57) gp > forprime(p=2, 30, print(Vecrev((sum(k=0, p-1, (1+kronecker(k, p))*x^k))^2, 2*p-1), ", "))
[1, 4, 4],
[1, 4, 4, 0, 0],
[1, 4, 4, 0, 4, 8, 0, 0, 4],
[1, 4, 8, 8, 8, 8, 8, 0, 4, 0, 0, 0, 0],
[1, 4, 4, 4, 12, 12, 12, 8, 12, 12, 12, 0, 8, 8, 8, 0, 0, 0, 4, 0, 0],
[1, 4, 4, 4, 12, 8, 4, 8, 4, 4, 12, 8, 12, 24, 8, 8, 8, 0, 4, 8, 4, 8, 8, 0, 4],
[1, 4, 8, 8, 8, 8, 8, 0, 8, 12, 16, 8, 8, 12, 8, 12, 16, 32, 12, 8, 8, 8, 8, 8, 16, 8, 4, 0, 8, 8, 4, 8, 4],
[1, 4, 4, 0, 4, 12, 12, 12, 12, 12, 20, 20, 20, 16, 12, 16, 20, 20, 20, 0, 16, 16, 20, 16, 8, 8, 8, 8, 8, 0, 0, 0, 4, 8, 4, 0, 0],
[1, 4, 8, 12, 16, 16, 16, 16, 16, 20, 24, 16, 24, 20, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 0, 20, 16, 12, 8, 8, 8, 8, 8, 4, 0, 8, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[1, 4, 4, 0, 4, 12, 12, 12, 12, 12, 20, 16, 12, 20, 20, 8, 12, 16, 12, 8, 20, 16, 20, 20, 20, 28, 28, 24, 28, 56, 24, 24, 28, 24, 16, 16, 16, 16, 16, 8, 12, 16, 8, 8, 20, 16, 12, 16, 20, 8, 12, 8, 8, 8, 0, 0, 4],
(17:00) gp > forprime(p=2, 30, print(lift(Mod((sum(k=0, p-1, (1+kronecker(k, p))*x^k))^2, polcyclo(p))), ", "))
1,
-3,
5,
-7,
-11,
13,
17,
-19,
-23,
29,
(17:00) gp >

190929

PARI


Kronecker symbol

ルジャンドル記号 (Legendre symbol) が超有名なのに対し、

クロネッカー記号 (Kronecker symbol) はあまり知られていない。

A215200 の最初の項を見ていると、(m/n) = (n/m) となりそうな気がするが、

(7/3) = 1, (3/7) = -1 なので (m/n) ≠ (n/m) である。

(00:00) gp > T(n, k) = kronecker(n-k, k);
(00:00) gp > tabl(nn) = for(n=2, nn, for(k=1, n-1, print1(T(n, k), ", ")); print);
(00:00) gp > tabl(10)
1,
1, 1,
1, 0, 1,
1, -1, -1, 1,
1, 0, 0, 0, 1,
1, -1, 1, 1, -1, 1,
1, 0, -1, 0, -1, 0, 1,
1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1,
1, 0, 1, 0, 0, 0, -1, 0, 1,
(00:01) gp >

190915(2)

Ruby


A309597

出力してみた。

def A325912(n)
  a = [2]
  (1..n).each{|i| a << -a[-1] + 2 ** (2 ** i)}
  a
end

def A325910(n)
  a = A325912(n - 1)
  [0] + (1..n).map{|i| (a[i - 1] - (i % 2)).to_s(2).to_i}
end

def A309597(n)
  a = A325910(n - 1)
  s = 0
  ary = []
  (1..n).each{|i|
    s += a[i - 1] * 10 ** (2 ** (i - 2)) if i > 1
    t = a[i - 1] * 10 ** (2 ** (i - 1))
    u = (5 * 10 ** (2 ** i - 1) + 4) / 9
    ary << s + t + u
  }
  ary
end

p A309597(10)

出力結果
[6, 666, 5656566, 555665666566566, 5555555666655656666556566566566, 555555555555555666666665555665666666666555566566666556566566566, 5555555555555555555555555555555666666666666666655555555666655656666666666666666555555556666556566666666555566566666556566566566, 555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555666666666666666666666666666666665555555555555555666666665555665666666666666666666666666666666666555555555555555566666666555566566666666666666666555555556666556566666666555566566666556566566566, 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666655555555555555555555555555555555666666666666666655555555666655656666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666555555555555555555555555555555556666666666666666555555556666556566666666666666666666666666666666555555555555555566666666555566566666666666666666555555556666556566666666555566566666556566566566, 555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666665555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555666666666666666666666666666666665555555555555555666666665555665666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555566666666666666666666666666666666555555555555555566666666555566566666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666555555555555555555555555555555556666666666666666555555556666556566666666666666666666666666666666555555555555555566666666555566566666666666666666555555556666556566666666555566566666556566566566]

190915

Ruby


A309597 & A325907

出力してみた。

def A325907(n)
  a = [3]
  (2..n).each{|i|
    j = 10 ** (2 ** (i - 2))
    a << (j + 3) * (j - 1) / 3 - a[-1]
  }
  a
end

A325907(10).each{|i| puts "T(#{i}) = #{i * (i + 1) / 2}"}

出力結果
T(3) = 6
T(36) = 666
T(3363) = 5656566
T(33336636) = 555665666566566
T(3333333366663363) = 5555555666655656666556566566566
T(33333333333333336666666633336636) = 555555555555555666666665555665666666666555566566666556566566566
T(3333333333333333333333333333333366666666666666663333333366663363) = 5555555555555555555555555555555666666666666666655555555666655656666666666666666555555556666556566666666555566566666556566566566
T(33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333336666666666666666666666666666666633333333333333336666666633336636) = 555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555666666666666666666666666666666665555555555555555666666665555665666666666666666666666666666666666555555555555555566666666555566566666666666666666555555556666556566666666555566566666556566566566
T(3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333366666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666663333333333333333333333333333333366666666666666663333333366663363) = 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666655555555555555555555555555555555666666666666666655555555666655656666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666555555555555555555555555555555556666666666666666555555556666556566666666666666666666666666666666555555555555555566666666555566566666666666666666555555556666556566666666555566566666556566566566
T(33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333336666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666633333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333336666666666666666666666666666666633333333333333336666666633336636) = 555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666665555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555666666666666666666666666666666665555555555555555666666665555665666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555566666666666666666666666666666666555555555555555566666666555566566666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666555555555555555555555555555555556666666666666666555555556666556566666666666666666666666666666666555555555555555566666666555566566666666666666666555555556666556566666666555566566666556566566566

190908

Ruby


A305714

条件を満たす数を出力してみた。

@ary = (0..9).to_a + ('A'..'Z').to_a

def A(n)
  (1..n).to_a.permutation{|a|
    if (0..n - 1).all?{|i| (0..i).inject(0){|s, j| s + a[j] * 10 ** (i - j)} % (i + 1) == 0}
      puts a.map{|i| @ary[i]}.join
    end
  }
end

(1..10).each{|i| A(i)}

出力結果
1
12
123
321
123654
321654
38165472
381654729
381654729A

190818

Ruby


10-adic integer (p/9)^(1/3)

例えば、(1/9)^(1/3) = ...711529 を
9, 2, 5, 1, 1, 7, ...
のように出力してみた。

# q * x ** k - p == 0 mod base なるxを求める
def f(k, p, q, base)
  (0..base - 1).each{|i|
    return i if (q * i ** k - p) % base == 0
  }
end

# xから開始しk乗してp/q
def A(x, k, p, q, base, n)
  ary = [x]
  a, m = x, base
  n.times{
    (0..base - 1).each{|i|
      j = i * m + a
      if (q * j ** k - p) % (m * base) == 0
        ary << i
        a = j
        break
      end
    }
    m *= base
  }
  ary
end

def show(k, p, q, base)
  print "#{base}-adic integer "
  r = p / q.to_r
  r = p / q if r.denominator == 1
  if r.denominator == 1 && r >= 0
    print "#{r}"
  else
    print "(#{r})"
  end
  puts "^(#{1r / k})"
end

def B(k, p, q, base, n)
  show(k, p, q, base)
  x = f(k, p, q, base)
  p A(x, k, p, q, base, n)
end

n = 100
ary = []
[1, 3, 7, 9].each{|i|
  (0..9 - i).each{|j|
    ary << 10 * j + i
  }
}
ary.sort!
ary.each{|i| B(3,  i, 9, 10, n)}
ary.each{|i| B(3, -i, 9, 10, n)}

出力結果
10-adic integer (1/9)^(1/3)
[9, 2, 5, 1, 1, 7, 1, 3, 6, 2, 6, 3, 3, 8, 2, 1, 4, 1, 0, 2, 7, 1, 2, 2, 4, 6, 1, 6, 0, 1, 0, 1, 2, 7, 2, 8, 2, 8, 8, 3, 6, 7, 0, 7, 7, 7, 2, 2, 6, 2, 6, 9, 9, 6, 8, 1, 3, 2, 1, 5, 4, 3, 7, 4, 7, 7, 6, 9, 6, 1, 4, 0, 2, 0, 9, 6, 3, 6, 6, 1, 9, 1, 9, 9, 7, 4, 9, 8, 8, 7, 7, 3, 0, 8, 7, 7, 8, 8, 0, 8, 1]
10-adic integer (1/3)^(1/3)
[3, 2, 5, 3, 5, 5, 4, 1, 6, 5, 5, 3, 1, 6, 8, 4, 8, 9, 4, 8, 3, 0, 3, 8, 6, 8, 6, 2, 7, 7, 5, 3, 5, 5, 6, 1, 6, 4, 6, 6, 4, 3, 7, 4, 7, 6, 7, 1, 3, 6, 5, 8, 1, 0, 3, 2, 9, 5, 1, 6, 3, 2, 8, 8, 3, 3, 4, 7, 9, 2, 5, 9, 0, 7, 1, 9, 6, 9, 6, 9, 2, 6, 0, 2, 0, 2, 6, 5, 3, 4, 6, 8, 6, 9, 9, 1, 2, 5, 4, 2, 8]
10-adic integer (7/9)^(1/3)
[7, 4, 2, 9, 3, 3, 0, 0, 1, 6, 6, 7, 2, 0, 5, 8, 6, 3, 0, 4, 4, 6, 0, 9, 7, 1, 9, 4, 2, 6, 8, 7, 9, 6, 8, 0, 5, 7, 1, 0, 6, 6, 9, 8, 6, 4, 9, 0, 9, 8, 5, 9, 0, 5, 9, 6, 5, 2, 1, 5, 3, 4, 6, 7, 2, 4, 4, 1, 6, 3, 2, 6, 1, 4, 1, 0, 2, 7, 0, 0, 5, 4, 1, 7, 9, 6, 4, 1, 3, 2, 1, 0, 4, 6, 1, 5, 6, 1, 5, 2, 9]
10-adic integer 1^(1/3)
[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
10-adic integer (11/9)^(1/3)
[9, 5, 8, 6, 6, 5, 0, 7, 6, 0, 5, 1, 0, 8, 9, 4, 8, 5, 8, 5, 6, 2, 2, 5, 2, 1, 8, 7, 6, 9, 9, 8, 2, 3, 8, 1, 0, 5, 8, 5, 7, 0, 0, 9, 6, 7, 4, 2, 0, 6, 6, 7, 7, 1, 2, 4, 1, 7, 9, 1, 2, 5, 4, 8, 7, 7, 3, 4, 4, 9, 1, 7, 6, 9, 6, 7, 0, 7, 4, 1, 3, 3, 6, 9, 7, 4, 6, 9, 8, 8, 5, 9, 0, 0, 1, 5, 4, 0, 5, 4, 4]
10-adic integer (13/9)^(1/3)
[3, 9, 6, 9, 6, 6, 2, 5, 6, 6, 5, 7, 4, 8, 2, 6, 1, 5, 2, 3, 5, 4, 9, 5, 1, 2, 1, 5, 3, 6, 9, 7, 1, 6, 7, 5, 5, 3, 7, 6, 4, 9, 5, 3, 1, 7, 9, 8, 0, 4, 4, 5, 7, 1, 2, 1, 3, 3, 4, 9, 1, 0, 1, 7, 6, 1, 9, 8, 0, 4, 1, 3, 7, 6, 7, 1, 2, 2, 0, 1, 1, 5, 4, 9, 2, 5, 2, 8, 9, 7, 5, 0, 9, 1, 4, 5, 4, 9, 7, 3, 1]
10-adic integer (17/9)^(1/3)
[7, 1, 6, 8, 7, 0, 3, 3, 3, 6, 5, 2, 7, 8, 7, 2, 6, 7, 1, 1, 0, 3, 3, 2, 4, 5, 6, 5, 3, 6, 5, 3, 3, 3, 7, 5, 2, 4, 7, 5, 0, 2, 9, 0, 6, 7, 0, 8, 8, 6, 6, 7, 0, 1, 2, 4, 5, 3, 2, 8, 6, 9, 7, 3, 1, 6, 6, 9, 5, 0, 1, 6, 4, 6, 8, 0, 3, 8, 5, 9, 6, 1, 3, 5, 3, 7, 9, 7, 2, 3, 6, 6, 9, 0, 0, 0, 5, 3, 7, 7, 2]
10-adic integer (7/3)^(1/3)
[9, 8, 9, 5, 3, 2, 3, 2, 4, 1, 6, 2, 9, 4, 0, 2, 1, 9, 1, 1, 8, 3, 0, 8, 2, 5, 0, 7, 5, 0, 5, 2, 5, 3, 6, 7, 4, 5, 2, 9, 9, 0, 0, 7, 2, 2, 4, 5, 9, 7, 0, 1, 7, 6, 9, 4, 0, 1, 7, 0, 7, 0, 6, 9, 8, 1, 5, 9, 7, 0, 8, 2, 8, 6, 8, 0, 4, 1, 8, 7, 5, 9, 6, 4, 7, 2, 7, 6, 4, 4, 4, 3, 4, 0, 0, 5, 8, 8, 9, 0, 0]
10-adic integer (23/9)^(1/3)
[3, 6, 2, 9, 7, 6, 0, 4, 7, 4, 2, 3, 4, 9, 0, 2, 1, 6, 5, 5, 4, 5, 9, 7, 3, 3, 2, 6, 4, 9, 6, 0, 0, 6, 4, 9, 5, 3, 2, 3, 1, 9, 6, 3, 3, 0, 5, 6, 1, 1, 4, 7, 2, 3, 1, 6, 2, 5, 7, 9, 9, 7, 3, 5, 1, 0, 8, 4, 2, 0, 2, 6, 3, 1, 6, 8, 2, 6, 4, 8, 4, 3, 4, 5, 9, 5, 3, 8, 9, 8, 6, 5, 7, 9, 1, 7, 2, 7, 6, 1, 7]
10-adic integer 3^(1/3)
[7, 8, 5, 4, 3, 1, 5, 9, 8, 7, 8, 0, 0, 5, 8, 3, 2, 4, 0, 6, 1, 5, 6, 6, 2, 9, 4, 8, 1, 3, 0, 3, 6, 1, 8, 4, 8, 4, 6, 1, 9, 2, 2, 1, 3, 3, 8, 6, 8, 7, 8, 8, 9, 0, 6, 5, 9, 6, 3, 5, 3, 0, 2, 4, 2, 3, 0, 9, 0, 5, 2, 1, 6, 0, 7, 0, 1, 9, 9, 4, 7, 5, 7, 9, 3, 4, 8, 6, 6, 3, 3, 1, 1, 4, 3, 3, 6, 6, 2, 4, 5]
10-adic integer (31/9)^(1/3)
[9, 1, 9, 8, 8, 1, 3, 3, 5, 8, 3, 9, 6, 0, 0, 9, 0, 6, 1, 9, 2, 8, 3, 4, 4, 7, 9, 1, 1, 5, 3, 2, 0, 1, 6, 9, 3, 2, 9, 2, 5, 9, 4, 0, 0, 4, 7, 9, 3, 2, 1, 0, 2, 1, 2, 7, 8, 7, 9, 2, 5, 1, 1, 5, 6, 3, 9, 3, 1, 7, 8, 5, 7, 1, 3, 2, 9, 4, 2, 5, 0, 2, 2, 4, 1, 5, 4, 0, 4, 2, 1, 5, 2, 0, 5, 5, 6, 2, 0, 8, 5]
10-adic integer (11/3)^(1/3)
[3, 3, 2, 2, 5, 8, 6, 8, 3, 1, 7, 3, 2, 6, 1, 0, 0, 1, 3, 2, 5, 3, 3, 5, 5, 5, 0, 8, 8, 9, 0, 9, 1, 7, 3, 2, 9, 4, 3, 9, 9, 8, 3, 3, 0, 1, 4, 2, 7, 6, 9, 5, 1, 5, 9, 3, 2, 5, 3, 7, 3, 1, 4, 8, 9, 7, 0, 1, 9, 1, 1, 4, 1, 4, 7, 4, 9, 0, 7, 7, 1, 2, 4, 9, 3, 4, 3, 8, 0, 8, 1, 8, 9, 8, 3, 5, 5, 1, 9, 2, 6]
10-adic integer (41/9)^(1/3)
[9, 4, 6, 5, 9, 6, 4, 6, 9, 6, 3, 6, 9, 7, 3, 3, 0, 2, 6, 9, 3, 9, 8, 4, 7, 8, 8, 6, 1, 5, 5, 7, 1, 8, 4, 4, 0, 3, 6, 1, 8, 2, 1, 5, 9, 2, 0, 3, 8, 9, 5, 6, 4, 1, 5, 7, 2, 0, 1, 8, 9, 8, 3, 1, 1, 7, 3, 6, 8, 6, 1, 3, 7, 2, 5, 7, 1, 7, 7, 3, 7, 1, 7, 6, 9, 7, 1, 7, 0, 3, 1, 8, 7, 3, 1, 0, 6, 2, 3, 3, 4]
10-adic integer (43/9)^(1/3)
[3, 0, 6, 8, 5, 0, 7, 1, 6, 9, 9, 9, 1, 7, 3, 8, 5, 6, 2, 9, 8, 1, 0, 9, 6, 8, 3, 0, 5, 1, 5, 1, 5, 7, 7, 1, 1, 5, 9, 9, 9, 9, 1, 2, 9, 9, 2, 1, 0, 3, 6, 9, 9, 5, 9, 4, 0, 5, 3, 0, 3, 0, 7, 9, 8, 1, 4, 6, 7, 9, 8, 7, 9, 4, 2, 0, 6, 6, 0, 5, 4, 3, 7, 9, 6, 8, 6, 4, 8, 5, 9, 4, 1, 7, 4, 2, 7, 3, 5, 0, 9]
10-adic integer (17/3)^(1/3)
[9, 7, 1, 6, 2, 8, 6, 6, 2, 1, 4, 1, 3, 6, 8, 9, 5, 4, 5, 0, 1, 9, 9, 1, 2, 8, 8, 9, 3, 1, 1, 7, 6, 9, 9, 2, 5, 2, 5, 2, 9, 5, 6, 9, 2, 0, 0, 1, 7, 3, 4, 5, 3, 1, 2, 3, 2, 7, 3, 1, 5, 5, 4, 5, 2, 4, 6, 6, 8, 2, 5, 6, 6, 6, 8, 0, 0, 9, 0, 9, 8, 8, 7, 0, 6, 1, 6, 1, 5, 8, 1, 2, 4, 2, 5, 0, 3, 2, 7, 2, 1]
10-adic integer (53/9)^(1/3)
[3, 7, 3, 8, 6, 7, 0, 5, 3, 0, 8, 5, 3, 4, 8, 1, 3, 0, 9, 0, 3, 2, 9, 2, 3, 6, 3, 2, 4, 3, 5, 1, 5, 2, 9, 8, 0, 7, 6, 0, 3, 9, 9, 4, 2, 5, 3, 0, 3, 2, 0, 3, 2, 8, 2, 8, 7, 8, 3, 1, 0, 0, 4, 6, 4, 1, 8, 9, 4, 8, 5, 3, 5, 3, 7, 3, 1, 6, 7, 9, 1, 1, 8, 5, 0, 2, 5, 7, 6, 3, 8, 9, 4, 2, 7, 3, 0, 3, 6, 6, 1]
10-adic integer (61/9)^(1/3)
[9, 0, 5, 0, 5, 4, 7, 1, 9, 1, 6, 0, 9, 8, 5, 7, 1, 0, 7, 3, 1, 0, 9, 5, 1, 4, 9, 9, 5, 7, 9, 3, 0, 1, 1, 9, 0, 1, 4, 1, 4, 0, 6, 4, 4, 1, 8, 0, 0, 1, 7, 6, 9, 1, 5, 3, 8, 1, 4, 2, 6, 7, 1, 3, 3, 9, 8, 0, 4, 5, 3, 7, 2, 5, 2, 7, 5, 5, 4, 6, 1, 0, 0, 2, 2, 3, 2, 0, 7, 3, 4, 2, 7, 7, 1, 0, 3, 1, 0, 9, 1]
10-adic integer 7^(1/3)
[3, 4, 5, 1, 5, 0, 7, 1, 2, 2, 2, 4, 4, 2, 9, 6, 0, 7, 3, 5, 4, 5, 8, 8, 8, 0, 4, 1, 8, 5, 1, 4, 0, 0, 6, 1, 3, 5, 4, 4, 8, 1, 3, 7, 4, 0, 7, 4, 8, 5, 5, 1, 6, 7, 4, 5, 5, 0, 0, 4, 9, 0, 4, 7, 0, 8, 6, 8, 4, 7, 4, 4, 2, 2, 0, 3, 2, 2, 0, 1, 6, 5, 5, 4, 3, 0, 3, 4, 9, 7, 1, 5, 1, 2, 3, 0, 2, 5, 6, 8, 7]
10-adic integer (71/9)^(1/3)
[9, 3, 6, 8, 3, 2, 7, 4, 5, 4, 1, 1, 9, 2, 2, 9, 0, 0, 3, 4, 5, 8, 1, 0, 7, 1, 6, 4, 6, 5, 3, 0, 3, 1, 5, 6, 9, 7, 3, 2, 4, 2, 4, 2, 0, 6, 2, 2, 0, 2, 3, 6, 7, 8, 4, 6, 5, 1, 5, 7, 5, 0, 9, 4, 4, 0, 9, 5, 5, 1, 9, 0, 2, 4, 7, 7, 6, 6, 4, 0, 1, 0, 6, 2, 9, 6, 8, 3, 9, 7, 9, 6, 0, 2, 3, 4, 6, 8, 6, 8, 6]
10-adic integer 9^(1/3)
[9, 6, 5, 0, 6, 6, 3, 4, 8, 6, 6, 0, 4, 8, 5, 4, 5, 9, 4, 5, 1, 1, 9, 4, 0, 6, 0, 8, 1, 3, 7, 0, 6, 6, 9, 4, 8, 3, 9, 9, 3, 0, 2, 4, 2, 0, 3, 5, 9, 8, 6, 5, 5, 0, 9, 6, 7, 7, 4, 8, 0, 7, 4, 6, 1, 0, 3, 2, 9, 8, 5, 8, 2, 1, 5, 7, 0, 9, 0, 9, 8, 8, 1, 6, 0, 6, 8, 6, 0, 3, 9, 5, 0, 9, 9, 5, 6, 5, 3, 7, 4]
10-adic integer (-1/9)^(1/3)
[1, 7, 4, 8, 8, 2, 8, 6, 3, 7, 3, 6, 6, 1, 7, 8, 5, 8, 9, 7, 2, 8, 7, 7, 5, 3, 8, 3, 9, 8, 9, 8, 7, 2, 7, 1, 7, 1, 1, 6, 3, 2, 9, 2, 2, 2, 7, 7, 3, 7, 3, 0, 0, 3, 1, 8, 6, 7, 8, 4, 5, 6, 2, 5, 2, 2, 3, 0, 3, 8, 5, 9, 7, 9, 0, 3, 6, 3, 3, 8, 0, 8, 0, 0, 2, 5, 0, 1, 1, 2, 2, 6, 9, 1, 2, 2, 1, 1, 9, 1, 8]
10-adic integer (-1/3)^(1/3)
[7, 7, 4, 6, 4, 4, 5, 8, 3, 4, 4, 6, 8, 3, 1, 5, 1, 0, 5, 1, 6, 9, 6, 1, 3, 1, 3, 7, 2, 2, 4, 6, 4, 4, 3, 8, 3, 5, 3, 3, 5, 6, 2, 5, 2, 3, 2, 8, 6, 3, 4, 1, 8, 9, 6, 7, 0, 4, 8, 3, 6, 7, 1, 1, 6, 6, 5, 2, 0, 7, 4, 0, 9, 2, 8, 0, 3, 0, 3, 0, 7, 3, 9, 7, 9, 7, 3, 4, 6, 5, 3, 1, 3, 0, 0, 8, 7, 4, 5, 7, 1]
10-adic integer (-7/9)^(1/3)
[3, 5, 7, 0, 6, 6, 9, 9, 8, 3, 3, 2, 7, 9, 4, 1, 3, 6, 9, 5, 5, 3, 9, 0, 2, 8, 0, 5, 7, 3, 1, 2, 0, 3, 1, 9, 4, 2, 8, 9, 3, 3, 0, 1, 3, 5, 0, 9, 0, 1, 4, 0, 9, 4, 0, 3, 4, 7, 8, 4, 6, 5, 3, 2, 7, 5, 5, 8, 3, 6, 7, 3, 8, 5, 8, 9, 7, 2, 9, 9, 4, 5, 8, 2, 0, 3, 5, 8, 6, 7, 8, 9, 5, 3, 8, 4, 3, 8, 4, 7, 0]
10-adic integer (-1)^(1/3)
[9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9]
10-adic integer (-11/9)^(1/3)
[1, 4, 1, 3, 3, 4, 9, 2, 3, 9, 4, 8, 9, 1, 0, 5, 1, 4, 1, 4, 3, 7, 7, 4, 7, 8, 1, 2, 3, 0, 0, 1, 7, 6, 1, 8, 9, 4, 1, 4, 2, 9, 9, 0, 3, 2, 5, 7, 9, 3, 3, 2, 2, 8, 7, 5, 8, 2, 0, 8, 7, 4, 5, 1, 2, 2, 6, 5, 5, 0, 8, 2, 3, 0, 3, 2, 9, 2, 5, 8, 6, 6, 3, 0, 2, 5, 3, 0, 1, 1, 4, 0, 9, 9, 8, 4, 5, 9, 4, 5, 5]
10-adic integer (-13/9)^(1/3)
[7, 0, 3, 0, 3, 3, 7, 4, 3, 3, 4, 2, 5, 1, 7, 3, 8, 4, 7, 6, 4, 5, 0, 4, 8, 7, 8, 4, 6, 3, 0, 2, 8, 3, 2, 4, 4, 6, 2, 3, 5, 0, 4, 6, 8, 2, 0, 1, 9, 5, 5, 4, 2, 8, 7, 8, 6, 6, 5, 0, 8, 9, 8, 2, 3, 8, 0, 1, 9, 5, 8, 6, 2, 3, 2, 8, 7, 7, 9, 8, 8, 4, 5, 0, 7, 4, 7, 1, 0, 2, 4, 9, 0, 8, 5, 4, 5, 0, 2, 6, 8]
10-adic integer (-17/9)^(1/3)
[3, 8, 3, 1, 2, 9, 6, 6, 6, 3, 4, 7, 2, 1, 2, 7, 3, 2, 8, 8, 9, 6, 6, 7, 5, 4, 3, 4, 6, 3, 4, 6, 6, 6, 2, 4, 7, 5, 2, 4, 9, 7, 0, 9, 3, 2, 9, 1, 1, 3, 3, 2, 9, 8, 7, 5, 4, 6, 7, 1, 3, 0, 2, 6, 8, 3, 3, 0, 4, 9, 8, 3, 5, 3, 1, 9, 6, 1, 4, 0, 3, 8, 6, 4, 6, 2, 0, 2, 7, 6, 3, 3, 0, 9, 9, 9, 4, 6, 2, 2, 7]
10-adic integer (-7/3)^(1/3)
[1, 1, 0, 4, 6, 7, 6, 7, 5, 8, 3, 7, 0, 5, 9, 7, 8, 0, 8, 8, 1, 6, 9, 1, 7, 4, 9, 2, 4, 9, 4, 7, 4, 6, 3, 2, 5, 4, 7, 0, 0, 9, 9, 2, 7, 7, 5, 4, 0, 2, 9, 8, 2, 3, 0, 5, 9, 8, 2, 9, 2, 9, 3, 0, 1, 8, 4, 0, 2, 9, 1, 7, 1, 3, 1, 9, 5, 8, 1, 2, 4, 0, 3, 5, 2, 7, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 5, 9, 9, 4, 1, 1, 0, 9, 9]
10-adic integer (-23/9)^(1/3)
[7, 3, 7, 0, 2, 3, 9, 5, 2, 5, 7, 6, 5, 0, 9, 7, 8, 3, 4, 4, 5, 4, 0, 2, 6, 6, 7, 3, 5, 0, 3, 9, 9, 3, 5, 0, 4, 6, 7, 6, 8, 0, 3, 6, 6, 9, 4, 3, 8, 8, 5, 2, 7, 6, 8, 3, 7, 4, 2, 0, 0, 2, 6, 4, 8, 9, 1, 5, 7, 9, 7, 3, 6, 8, 3, 1, 7, 3, 5, 1, 5, 6, 5, 4, 0, 4, 6, 1, 0, 1, 3, 4, 2, 0, 8, 2, 7, 2, 3, 8, 2]
10-adic integer (-3)^(1/3)
[3, 1, 4, 5, 6, 8, 4, 0, 1, 2, 1, 9, 9, 4, 1, 6, 7, 5, 9, 3, 8, 4, 3, 3, 7, 0, 5, 1, 8, 6, 9, 6, 3, 8, 1, 5, 1, 5, 3, 8, 0, 7, 7, 8, 6, 6, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 0, 9, 3, 4, 0, 3, 6, 4, 6, 9, 7, 5, 7, 6, 9, 0, 9, 4, 7, 8, 3, 9, 2, 9, 8, 0, 0, 5, 2, 4, 2, 0, 6, 5, 1, 3, 3, 6, 6, 8, 8, 5, 6, 6, 3, 3, 7, 5, 4]
10-adic integer (-31/9)^(1/3)
[1, 8, 0, 1, 1, 8, 6, 6, 4, 1, 6, 0, 3, 9, 9, 0, 9, 3, 8, 0, 7, 1, 6, 5, 5, 2, 0, 8, 8, 4, 6, 7, 9, 8, 3, 0, 6, 7, 0, 7, 4, 0, 5, 9, 9, 5, 2, 0, 6, 7, 8, 9, 7, 8, 7, 2, 1, 2, 0, 7, 4, 8, 8, 4, 3, 6, 0, 6, 8, 2, 1, 4, 2, 8, 6, 7, 0, 5, 7, 4, 9, 7, 7, 5, 8, 4, 5, 9, 5, 7, 8, 4, 7, 9, 4, 4, 3, 7, 9, 1, 4]
10-adic integer (-11/3)^(1/3)
[7, 6, 7, 7, 4, 1, 3, 1, 6, 8, 2, 6, 7, 3, 8, 9, 9, 8, 6, 7, 4, 6, 6, 4, 4, 4, 9, 1, 1, 0, 9, 0, 8, 2, 6, 7, 0, 5, 6, 0, 0, 1, 6, 6, 9, 8, 5, 7, 2, 3, 0, 4, 8, 4, 0, 6, 7, 4, 6, 2, 6, 8, 5, 1, 0, 2, 9, 8, 0, 8, 8, 5, 8, 5, 2, 5, 0, 9, 2, 2, 8, 7, 5, 0, 6, 5, 6, 1, 9, 1, 8, 1, 0, 1, 6, 4, 4, 8, 0, 7, 3]
10-adic integer (-41/9)^(1/3)
[1, 5, 3, 4, 0, 3, 5, 3, 0, 3, 6, 3, 0, 2, 6, 6, 9, 7, 3, 0, 6, 0, 1, 5, 2, 1, 1, 3, 8, 4, 4, 2, 8, 1, 5, 5, 9, 6, 3, 8, 1, 7, 8, 4, 0, 7, 9, 6, 1, 0, 4, 3, 5, 8, 4, 2, 7, 9, 8, 1, 0, 1, 6, 8, 8, 2, 6, 3, 1, 3, 8, 6, 2, 7, 4, 2, 8, 2, 2, 6, 2, 8, 2, 3, 0, 2, 8, 2, 9, 6, 8, 1, 2, 6, 8, 9, 3, 7, 6, 6, 5]
10-adic integer (-43/9)^(1/3)
[7, 9, 3, 1, 4, 9, 2, 8, 3, 0, 0, 0, 8, 2, 6, 1, 4, 3, 7, 0, 1, 8, 9, 0, 3, 1, 6, 9, 4, 8, 4, 8, 4, 2, 2, 8, 8, 4, 0, 0, 0, 0, 8, 7, 0, 0, 7, 8, 9, 6, 3, 0, 0, 4, 0, 5, 9, 4, 6, 9, 6, 9, 2, 0, 1, 8, 5, 3, 2, 0, 1, 2, 0, 5, 7, 9, 3, 3, 9, 4, 5, 6, 2, 0, 3, 1, 3, 5, 1, 4, 0, 5, 8, 2, 5, 7, 2, 6, 4, 9, 0]
10-adic integer (-17/3)^(1/3)
[1, 2, 8, 3, 7, 1, 3, 3, 7, 8, 5, 8, 6, 3, 1, 0, 4, 5, 4, 9, 8, 0, 0, 8, 7, 1, 1, 0, 6, 8, 8, 2, 3, 0, 0, 7, 4, 7, 4, 7, 0, 4, 3, 0, 7, 9, 9, 8, 2, 6, 5, 4, 6, 8, 7, 6, 7, 2, 6, 8, 4, 4, 5, 4, 7, 5, 3, 3, 1, 7, 4, 3, 3, 3, 1, 9, 9, 0, 9, 0, 1, 1, 2, 9, 3, 8, 3, 8, 4, 1, 8, 7, 5, 7, 4, 9, 6, 7, 2, 7, 8]
10-adic integer (-53/9)^(1/3)
[7, 2, 6, 1, 3, 2, 9, 4, 6, 9, 1, 4, 6, 5, 1, 8, 6, 9, 0, 9, 6, 7, 0, 7, 6, 3, 6, 7, 5, 6, 4, 8, 4, 7, 0, 1, 9, 2, 3, 9, 6, 0, 0, 5, 7, 4, 6, 9, 6, 7, 9, 6, 7, 1, 7, 1, 2, 1, 6, 8, 9, 9, 5, 3, 5, 8, 1, 0, 5, 1, 4, 6, 4, 6, 2, 6, 8, 3, 2, 0, 8, 8, 1, 4, 9, 7, 4, 2, 3, 6, 1, 0, 5, 7, 2, 6, 9, 6, 3, 3, 8]
10-adic integer (-61/9)^(1/3)
[1, 9, 4, 9, 4, 5, 2, 8, 0, 8, 3, 9, 0, 1, 4, 2, 8, 9, 2, 6, 8, 9, 0, 4, 8, 5, 0, 0, 4, 2, 0, 6, 9, 8, 8, 0, 9, 8, 5, 8, 5, 9, 3, 5, 5, 8, 1, 9, 9, 8, 2, 3, 0, 8, 4, 6, 1, 8, 5, 7, 3, 2, 8, 6, 6, 0, 1, 9, 5, 4, 6, 2, 7, 4, 7, 2, 4, 4, 5, 3, 8, 9, 9, 7, 7, 6, 7, 9, 2, 6, 5, 7, 2, 2, 8, 9, 6, 8, 9, 0, 8]
10-adic integer (-7)^(1/3)
[7, 5, 4, 8, 4, 9, 2, 8, 7, 7, 7, 5, 5, 7, 0, 3, 9, 2, 6, 4, 5, 4, 1, 1, 1, 9, 5, 8, 1, 4, 8, 5, 9, 9, 3, 8, 6, 4, 5, 5, 1, 8, 6, 2, 5, 9, 2, 5, 1, 4, 4, 8, 3, 2, 5, 4, 4, 9, 9, 5, 0, 9, 5, 2, 9, 1, 3, 1, 5, 2, 5, 5, 7, 7, 9, 6, 7, 7, 9, 8, 3, 4, 4, 5, 6, 9, 6, 5, 0, 2, 8, 4, 8, 7, 6, 9, 7, 4, 3, 1, 2]
10-adic integer (-71/9)^(1/3)
[1, 6, 3, 1, 6, 7, 2, 5, 4, 5, 8, 8, 0, 7, 7, 0, 9, 9, 6, 5, 4, 1, 8, 9, 2, 8, 3, 5, 3, 4, 6, 9, 6, 8, 4, 3, 0, 2, 6, 7, 5, 7, 5, 7, 9, 3, 7, 7, 9, 7, 6, 3, 2, 1, 5, 3, 4, 8, 4, 2, 4, 9, 0, 5, 5, 9, 0, 4, 4, 8, 0, 9, 7, 5, 2, 2, 3, 3, 5, 9, 8, 9, 3, 7, 0, 3, 1, 6, 0, 2, 0, 3, 9, 7, 6, 5, 3, 1, 3, 1, 3]
10-adic integer (-9)^(1/3)
[1, 3, 4, 9, 3, 3, 6, 5, 1, 3, 3, 9, 5, 1, 4, 5, 4, 0, 5, 4, 8, 8, 0, 5, 9, 3, 9, 1, 8, 6, 2, 9, 3, 3, 0, 5, 1, 6, 0, 0, 6, 9, 7, 5, 7, 9, 6, 4, 0, 1, 3, 4, 4, 9, 0, 3, 2, 2, 5, 1, 9, 2, 5, 3, 8, 9, 6, 7, 0, 1, 4, 1, 7, 8, 4, 2, 9, 0, 9, 0, 1, 1, 8, 3, 9, 3, 1, 3, 9, 6, 0, 4, 9, 0, 0, 4, 3, 4, 6, 2, 5]

190815

Ruby


(m * 10)^n - 1 の素因数分解

Q. 728999999を素因数分解せよ.

という問題をtwitter で見て触発された。

require 'prime'

def show(n, ary)
  print "#{n} = "
  (0..ary.size - 1).each{|i|
    print " * " if i > 0
    print "#{ary[i][0]}"
    j = ary[i][1]
    print "^#{j}" if j > 1
  }
  puts
end

(2..10).each{|i|
  (1..20).each{|j|
    k = (j * 10) ** i - 1
    show(k, k.prime_division)
  }
}

出力結果
99 = 3^2 * 11
399 = 3 * 7 * 19
899 = 29 * 31
1599 = 3 * 13 * 41
2499 = 3 * 7^2 * 17
3599 = 59 * 61
4899 = 3 * 23 * 71
6399 = 3^4 * 79
8099 = 7 * 13 * 89
9999 = 3^2 * 11 * 101
12099 = 3 * 37 * 109
14399 = 7 * 11^2 * 17
16899 = 3 * 43 * 131
19599 = 3 * 47 * 139
22499 = 149 * 151
25599 = 3 * 7 * 23 * 53
28899 = 3^2 * 13^2 * 19
32399 = 179 * 181
36099 = 3^3 * 7 * 191
39999 = 3 * 67 * 199
999 = 3^3 * 37
7999 = 19 * 421
26999 = 7^2 * 19 * 29
63999 = 3^2 * 13 * 547
124999 = 7^2 * 2551
215999 = 7 * 59 * 523
342999 = 3^2 * 23 * 1657
511999 = 79 * 6481
728999 = 89 * 8191
999999 = 3^3 * 7 * 11 * 13 * 37
1330999 = 109 * 12211
1727999 = 7 * 13 * 17 * 1117
2196999 = 3^2 * 7 * 43 * 811
2743999 = 19 * 139 * 1039
3374999 = 149 * 22651
4095999 = 3^2 * 31 * 53 * 277
4912999 = 7 * 13^2 * 4153
5831999 = 31 * 179 * 1051
6858999 = 3^4 * 7 * 12097
7999999 = 7 * 199 * 5743
9999 = 3^2 * 11 * 101
159999 = 3 * 7 * 19 * 401
809999 = 17 * 29 * 31 * 53
2559999 = 3 * 13 * 41 * 1601
6249999 = 3 * 7^2 * 17 * 41 * 61
12959999 = 13 * 59 * 61 * 277
24009999 = 3 * 13^2 * 23 * 29 * 71
40959999 = 3^4 * 37 * 79 * 173
65609999 = 7 * 13 * 89 * 8101
99999999 = 3^2 * 11 * 73 * 101 * 137
146409999 = 3 * 37 * 109 * 12101
207359999 = 7 * 11^2 * 17 * 14401
285609999 = 3 * 43 * 131 * 16901
384159999 = 3 * 17 * 47 * 139 * 1153
506249999 = 149 * 151 * 22501
655359999 = 3 * 7 * 23 * 53 * 25601
835209999 = 3^2 * 13^2 * 19 * 28901
1049759999 = 179 * 181 * 32401
1303209999 = 3^3 * 7 * 13 * 191 * 2777
1599999999 = 3 * 13 * 17 * 67 * 181 * 199
99999 = 3^2 * 41 * 271
3199999 = 11 * 19 * 61 * 251
24299999 = 29 * 837931
102399999 = 3 * 13 * 2625641
312499999 = 7^2 * 6377551
777599999 = 11 * 59 * 1198151
1680699999 = 3 * 11 * 23 * 31 * 61 * 1171
3276799999 = 11 * 79 * 751 * 5021
5904899999 = 89 * 281 * 236111
9999999999 = 3^2 * 11 * 41 * 271 * 9091
16105099999 = 109 * 147753211
24883199999 = 7 * 17 * 209102521
37129299999 = 3 * 11^2 * 43 * 2378711
53782399999 = 31 * 139 * 541 * 23071
75937499999 = 149 * 331 * 1539721
104857599999 = 3 * 41 * 53 * 991 * 16231
141985699999 = 11 * 13^2 * 151 * 505811
188956799999 = 11 * 41 * 61 * 179 * 38371
247609899999 = 3^3 * 7 * 11 * 31 * 1231 * 3121
319999999999 = 199 * 3361 * 478441
999999 = 3^3 * 7 * 11 * 13 * 37
63999999 = 3^2 * 7 * 19 * 127 * 421
728999999 = 7^2 * 13 * 19 * 29 * 31 * 67
4095999999 = 3^2 * 7 * 13 * 41 * 223 * 547
15624999999 = 3^2 * 7^2 * 17 * 19 * 43 * 2551
46655999999 = 7 * 59 * 61 * 523 * 3541
117648999999 = 3^2 * 23 * 71 * 1657 * 4831
262143999999 = 3^5 * 7^2 * 43 * 79 * 6481
531440999999 = 7 * 13 * 89 * 8011 * 8191
999999999999 = 3^3 * 7 * 11 * 13 * 37 * 101 * 9901
1771560999999 = 3^2 * 7 * 37 * 109 * 571 * 12211
2985983999999 = 7 * 11^2 * 13 * 17 * 1117 * 14281
4826808999999 = 3^2 * 7 * 31 * 43 * 131 * 541 * 811
7529535999999 = 3^2 * 13 * 19 * 47 * 139 * 499 * 1039
11390624999999 = 7 * 31 * 103 * 149 * 151 * 22651
16777215999999 = 3^2 * 7 * 13 * 19 * 23 * 31 * 53 * 103 * 277
24137568999999 = 3^3 * 7 * 13^2 * 19 * 61 * 157 * 4153
34012223999999 = 7 * 31 * 179 * 181 * 1051 * 4603
47045880999999 = 3^4 * 7 * 191 * 12097 * 35911
63999999999999 = 3^2 * 7 * 67 * 199 * 5743 * 13267
9999999 = 3^2 * 239 * 4649
1279999999 = 19 * 29 * 71 * 32719
21869999999 = 29 * 71 * 113 * 93997
163839999999 = 3 * 13 * 4201025641
781249999999 = 7^3 * 2277696793
2799359999999 = 59 * 47446779661
8235429999999 = 3 * 23 * 20693 * 5767847
20971519999999 = 79 * 265462278481
47829689999999 = 43 * 89 * 18803 * 664679
99999999999999 = 3^2 * 11 * 239 * 4649 * 909091
194871709999999 = 29 * 109 * 156157 * 394787
358318079999999 = 7^2 * 17 * 430153757503
627485169999999 = 3 * 43 * 911 * 5339435921
1054135039999999 = 29 * 43 * 139 * 6081560003
1708593749999999 = 43 * 149 * 59879 * 4453583
2684354559999999 = 3 * 53 * 16882733081761
4103386729999999 = 13^2 * 29 * 43 * 19471046393
6122200319999999 = 179 * 34202236424581
8938717389999999 = 3^3 * 7^2 * 29^2 * 71 * 2017 * 56099
12799999999999999 = 199 * 213361 * 301468441
99999999 = 3^2 * 11 * 73 * 101 * 137
25599999999 = 3 * 7 * 19 * 401 * 160001
656099999999 = 17 * 29 * 31 * 53 * 241 * 3361
6553599999999 = 3 * 13 * 41 * 769 * 1601 * 3329
39062499999999 = 3 * 7^2 * 17 * 41 * 61 * 97 * 64433
167961599999999 = 13 * 17 * 59 * 61 * 277 * 281 * 2713
576480099999999 = 3 * 13^2 * 17 * 23 * 29 * 71 * 353 * 4001
1677721599999999 = 3^4 * 37 * 79 * 173 * 40960001
4304672099999999 = 7 * 13 * 89 * 8101 * 65610001
9999999999999999 = 3^2 * 11 * 17 * 73 * 101 * 137 * 5882353
21435888099999999 = 3 * 17^2 * 37 * 109 * 12101 * 506609
42998169599999999 = 7 * 11^2 * 17 * 41 * 14401 * 5057561
81573072099999999 = 3 * 43 * 97 * 131 * 16901 * 2944433
147578905599999999 = 3 * 17 * 47 * 139 * 1153 * 384160001
256289062499999999 = 41 * 149 * 151 * 193 * 22501 * 63977
429496729599999999 = 3 * 7 * 23 * 53 * 25601 * 655360001
697575744099999999 = 3^2 * 13^2 * 19 * 457 * 28901 * 1827593
1101996057599999999 = 179 * 181 * 32401 * 1049760001
1698356304099999999 = 3^3 * 7 * 13 * 89 * 191 * 1753 * 2777 * 8353
2559999999999999999 = 3 * 13 * 17 * 67 * 181 * 199 * 1889 * 847009
999999999 = 3^4 * 37 * 333667
511999999999 = 19 * 421 * 64008001
19682999999999 = 7^2 * 19 * 29 * 729027001
262143999999999 = 3^3 * 13 * 163 * 547 * 8376409
1953124999999999 = 7^2 * 2551 * 15625125001
10077695999999999 = 7 * 59 * 523 * 46656216001
40353606999999999 = 3^3 * 23 * 37 * 1657 * 1059903991
134217727999999999 = 19 * 79 * 181 * 1531 * 6481 * 49789
387420488999999999 = 37 * 89 * 8191 * 14363289973
999999999999999999 = 3^4 * 7 * 11 * 13 * 19 * 37 * 52579 * 333667
2357947690999999999 = 73 * 109 * 12211 * 24267977137
5159780351999999999 = 7 * 13 * 17 * 19 * 37 * 1117 * 4247490367
10604499372999999999 = 3^3 * 7 * 19 * 43 * 811 * 84680898193
20661046783999999999 = 19 * 139 * 163 * 1039 * 46193489227
38443359374999999999 = 19 * 73 * 149 * 433 * 1801 * 10531 * 22651
68719476735999999999 = 3^3 * 31 * 37 * 53 * 277 * 613 * 246567907
118587876496999999999 = 7 * 13^2 * 4153 * 102673 * 235091737
198359290367999999999 = 19 * 31 * 179 * 199 * 379 * 1051 * 1171 * 20269
322687697778999999999 = 3^5 * 7 * 12097 * 15681962619667
511999999999999999999 = 7 * 199 * 5743 * 64000008000001
9999999999 = 3^2 * 11 * 41 * 271 * 9091
10239999999999 = 3 * 7 * 11 * 19 * 61 * 251 * 152381
590489999999999 = 11 * 29 * 31 * 71261 * 837931
10485759999999999 = 3 * 11^2 * 13 * 41 * 20641 * 2625641
97656249999999999 = 3 * 7^2 * 11 * 17 * 557041 * 6377551
604661759999999999 = 11 * 31 * 59 * 61 * 411211 * 1198151
2824752489999999999 = 3 * 11 * 23 * 31 * 61 * 71 * 131 * 1171 * 180701
10737418239999999999 = 3^4 * 11 * 79 * 751 * 5021 * 40454321
34867844009999999999 = 7 * 11 * 13 * 89 * 281 * 571 * 10331 * 236111
99999999999999999999 = 3^2 * 11 * 41 * 101 * 271 * 3541 * 9091 * 27961
259374246009999999999 = 3 * 37 * 109 * 461 * 491 * 641 * 147753211
619173642239999999999 = 7 * 11^2 * 17 * 31 * 2531 * 2621 * 209102521
1378584918489999999999 = 3 * 11^2 * 43 * 131 * 9391 * 30181 * 2378711
2892546549759999999999 = 3 * 11 * 31 * 47 * 139 * 211 * 541 * 23071 * 164341
5766503906249999999999 = 11 * 149 * 151 * 241 * 331 * 189701 * 1539721
10995116277759999999999 = 3 * 7 * 11 * 23 * 41 * 53 * 991 * 16231 * 59208131
20159939004489999999999 = 3^2 * 11 * 13^2 * 19 * 31 * 151 * 505811 * 26784701
35704672266239999999999 = 11 * 41 * 61 * 179 * 181 * 38371 * 1043960221
61310662578009999999999 = 3^3 * 7 * 11 * 31 * 191 * 661 * 1231 * 3121 * 1961251
102399999999999999999999 = 3 * 11 * 67 * 199 * 3361 * 478441 * 144730891