150919

Ruby

二重根号が外れてきれいになる式

√(( 5＋2√3)( 4＋√13)) - √(( 4＋ √3)( 5＋√13)) = 1

√(( 7＋3√3)( 5＋√22)) - √(( 5＋ √3)( 7＋√22)) = 2

√((23＋8√8)( 7＋√17)) - √(( 7＋2√8)(23＋√17)) = 4

√((13＋9√2)( 5＋√ 7)) - √(( 5＋3√2)(13＋√ 7)) = 2

√((16＋9√3)(11＋√13)) - √((11＋6√3)(16＋√13)) = 1

を以下のコードで見つけ、

http://www.artofproblemsolving.com/community/c4h1142129_curious_equation

で証明した方法で全て（手計算で）確認した。

def square_number?(n)
  (Math.sqrt(n).to_i) ** 2 == n
end

M = 10
N = 30
(1..M).each{|f2|
  (f2 + 1..M).each{|d|
    (2..M).each{|x|
      if !square_number?(x)
        (x + 1..N).each{|y|
          if x.gcd(y) == 1 && !square_number?(y)
            (1..N).each{|e2|
              (e2 + 1..N).each{|c|
                m0 = Math.sqrt(c + d * Math.sqrt(x)) * Math.sqrt(e2 + Math.sqrt(y))
                m1 = Math.sqrt(e2 + f2 * Math.sqrt(x)) * Math.sqrt(c + Math.sqrt(y))
                z = m0 - m1
                p [[c, d, e2, f2, x, y], z.to_i] if (z - z.to_i).abs < 0.0000001 && z > 0
              }
            }
          end
        }
      end
    }
  }
}

出力結果
[[5, 2, 4, 1, 3, 13], 1]
[[7, 3, 5, 1, 3, 22], 2]
[[23, 8, 7, 2, 8, 17], 4]
[[13, 9, 5, 3, 2, 7], 2]
[[16, 9, 11, 6, 3, 13], 1]