のコードを見れば、
Number of times k is used in writing out all the numbers 1 through n(10)
で気づいた
「m進法で1からm0 0…0 (s桁) までの0の個数」
= 「m進法で1からm0 0…0 (s - 1桁) までの桁数の合計」
を示すには、次を示せばよいことが分かる。
((m0 - 1)m^(s - 1) + 1)s + ((s - 1)m^s - sm^(s- 1) + 1) / (m - 1) - ((m - 1)m0(s - 1)m^(s - 2) + 1 + (m0 - 1)m^(s - 1))
= ((m0 - 1)m^(s - 2) + 1)(s - 1) + ((s - 2)m^(s - 1) - (s - 1)m^(s- 2) + 1) / (m - 1)
すなわち次を示せばよい。
(m - 1)^2 (s - 1)m^(s - 2)
= (s - 1)m^s - sm^(s- 1) - ((s - 2)m^(s - 1) - (s - 1)m^(s- 2))
これを示そう。
（右辺）
= m^(s - 2) ((s - 1)m^2 - sm - (s - 2)m + (s - 1))
= m^(s - 2) (s - 1)(m^2 - 2m + 1)
= （左辺）
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