160515(2)

Ruby


ｅ とπ(1)

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/mathbun/mathbun324.htm
に載っている漸化式が面白い。

a1 = 0,
a2 = 1,
a3 = a2 + a1 / 1 = 1 + 0 = 1,
a4 = a3 + a2 / 2 = 1 + 1 / 2 = 3 / 2,
a5 = a4 + a3 / 3 = 3 / 2 + 1 / 3 = 11 / 6,
a6 = a5 + a4 / 4 = 11 / 6 + 3 / 8 = 53 / 24,
…
に対し、n / an → ｅ となる。
一方、
b1 = 0,
b2 = 1,
b3 = b2 / 1 + b1 = 1 + 0 = 1,
b4 = b3 / 2 + b2 = 1 / 2 + 1 = 3 /2,
b5 = b4 / 3 + b3 = 1 / 2 + 1 = 3 /2,
b6 = b5 / 4 + b4 = 3 / 8 + 3 / 2 = 15 / 8,
…
に対し、2n / (bn)^2 → π となる。

def a(n)
  ary = [0, 1]
  a, b = 0, 1
  m = 2
  while m < n
    a, b = b, b + a / (m - 1r)
    ary << b
    m += 1
  end
  ary
end

def b(n)
  ary = [0, 1]
  a, b = 0, 1
  m = 2
  while m < n
    a, b = b, a + b / (m - 1r)
    ary << b
    m += 1
  end
  ary
end

n0 = 100
p ary0 = a(n0)
p n0.to_f / ary0[-1]
n1 = 200
p ary1 = b(n1)
p (2 * n1).to_f / ary1[-1] ** 2

出力結果
[0, 1, (1/1), (3/2), (11/6), (53/24), (103/40), (2119/720), (16687/5040), (16481/4480), (1468457/362880), (16019531/3628800), (63633137/13305600), (2467007773/479001600), (34361893981/6227020800), (15549624751/2641766400), (8178130767479/1307674368000), (138547156531409/20922789888000), (92079694567171/13173608448000), (4282366656425369/582033973248000), (72289643288657479/9357315416064000), (6563440628747948887/810967336058880000), (39299278806015611311/4644631106519040000), (9923922230666898717143/1124000727777607680000), (79253545592131482810517/8617338912961658880000), (5934505493938805432851513/620448401733239439360000), (14006262966463963871240459/1410110003939180544000000), (461572649528573755888451011/44810162347400626176000000), (116167945043852116348068366947/10888869450418352160768000000), (3364864615063302680426807870189/304888344611713860501504000000), (277778998066291010992075323719/24357471057134165164032000000), (3122594362778744887436077703535391/265252859812191058636308480000000), (99825438535083000620222109084897031/8222838654177922817725562880000000), (7671828574286240352814978786774597/613358594251033869853655040000000), (111804491159292960694648762175084674721/8683317618811886495518194401280000000), (3909962776542130968292859568637246910243/295232799039604140847618609643520000000), (15627783319821171617096460312917391199891/1148127551820682769962961259724800000000), (42977276800008547006855398564359821410109/3074325014792572045190078083891200000000), (197472670029260324553630872514024155201822677/13763753091226345046315979581580902400000000), (2565456909781843532662554924968518939374106573/174340872488867037253335741366691430400000000), (307662419905587585654556899376849633804439730767/20397882081197443358640281739902897356800000000), (1146059568606179919954890445572300188007669063611/74174116658899794031419206326919626752000000000), (176393120745870215775279288976060456714545445639747/11150842204387935702723354017813583888384000000000), (22742406079421034331584846001936724930824184898296683/1405006117752879898543142606244511569936384000000000), (8265694170488298540874657590861675946871675014688971/499299694738626740804587868334826425679872000000000), (15009836244609544847472414211488435740130209452396009/886977502431914837518727331002541171277824000000000), (159100624684072766714306447665087342217985038121199371953/9201709297344630350920243191973670389567979520000000000), (97166475126204780761009622846354618532447713494274612181679/5502622159812088949850305428800254892961651752960000000000), (141271712257354551826139622105526948535496896576587393847479/7837067924580853958877707731927635756642352496640000000000), (5569297964550761824106649114364228135396393334427935088462089/302778429086245674899080220667643293622475276943360000000000), (11412494002998130114722863232172889010491581293043036024574743537/608281864034267560872252163321295376887552831379210240000000000), (193937806586896328746924473226467394949530139620339174273819171217/10138031067237792681204202722021589614792547189653504000000000000), (2749373555267731345819598869568923261618426402414913224102097306641/141010795753398389111294819679027564642114520001544192000000000000), (1602314158020937468107089997797073617073018013543242257850293992594853/80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000), (9610588005413647571053842270737591756723966068885907781139109029658429/474987031562225062699779305932155516632260420929645969408000000000000), (432333492818740218667440283041974045042974314926940274663606597274683973/20985790667203761861099340243911598280298051324709812830208000000000000), (266232508925968865013333538583972766844767308040277417353115598339597800159/12696403353658275925965100847566516959580321051449436762275840000000000000), (5056860754336531424346826510647623080185989570262111412648651832789553537523/236999529268287817284681882487908316578832659627056152895815680000000000000), (535381746495070681682321370347806464793129145322627259242053522163135198859/24666414792986741786780646321017846704187696163254170508328960000000000000), (362820918457991695201387692302409879739218552383841000655770404226719016048853/16437491827152997005800523849755767019782253973294705765179719680000000000000), (1037379585726859065984781030873785341538594458412280321524982382933947381348080769/46227706181896611912646339906796468781967625590895810846940431646720000000000000), (189789445519864707809674693517236793632306789440672924397029563828571356981058711181/8320987112741390144276341183223364380754172606361245952449277696409600000000000000), (317942824382231940763984240273208804676963815091763752597116222228944954175330700553/13718384158843913481104238166935816952054176459136108191875836202188800000000000000), (7484222174843957770595656600922145882227532383599869665111145628148914925798517257077/317878517781696338642960831868189536242548290881396284769324931796172800000000000000), (47408454543634604687317690067138164865382074468332893149755999896557982117083560759457831/1982608315404440064116146708361898137544773690227268628106279599612729753600000000000000), (3080820184497116464603537274516793975251905885449817548685682208662475637885553240737690433/126886932185884164103433389335161480802865516174545192198801894375214704230400000000000000), (6160225851003187421188431969936013664932070767279134722004658410801231130850130561713793313/249928805820680929294641524448045340975341168222589014937034034375422902272000000000000000), (13617225215477254773547634753364229370613424013688193565190715362288142319454145324060591713859/544344939077443064003729240247842752644293064388798874532860126869671081148416000000000000000), (925771061340461012031039933305924005593321459048242924292304075292030616806419321075472286664267/36471110918188685288249859096605464427167635314049524593701628500267962436943872000000000000000), (452941746528995211971194375838852735802673465419841332062017411695967287079715897658469327219849/17588904556289578720574400131696252347853895045073529591288728638427102451859456000000000000000), (406329334922885978735078254363727372636777818571356076225749461409993074358308407468398200001371007/15556586584376482852042576261933894462933685899410942672149821902114298159467331584000000000000000), (317280258142602798043278005942606275196943130445013815013458452684084732991896029718985862085577586311/11978571669969891796072783721689098736458938142546425857555362864628009582789845319680000000000000000), (65070575259303193346720081703091497481234419321640812093018168734631654443534232432474822854920411121/2423015921845761588379394997834547037859215407751556227596668841562930713327860449280000000000000000), (1666990476281235100919382643222453369884739207358102584080710710402181187139421740143551719397624638477993/61234458376886086861524070385274672740778091784697328983823014963978384987221689274204160000000000000000), (11212251667862115697215749350912693120539247125657999567373330638147348893843162195682979930837831567158491/406374132864789485535568830738641010006981881843900455983552735670038373097016665183354880000000000000000), (3082821054136097446633578301532723765373511040807584378826594340437100408749837271438808313072673831425301721/110262848050646213741984342740417927381894417273644990390203975611803745233657188486416957440000000000000000), (702761510038261687670088737816505779409158931341992096883825617737799533968301720101017816105053606966359898899/24809140811395398091946477116594033660926243886570122837795894512655842677572867409443815424000000000000000000), (119963435698644146759244565835696900404224210124552341127287651163350581316096771870844979810255932908013403999/4180697786399224512168364214769726293193779457603834447167379119649321604202966570105831424000000000000000000), (1406460035423241057590404260616766899857530074592440183230163002965916133981894509162170322631580618742008277663199/48394364009428623211356928028769428327913459741402786282260524896020663783052140026688402620416000000000000000000), (333277618520545222760662883022099700826999531599626332026185460955974050989127407740706689109660622567726518453861839/11324281178206297831457521158732046228731749579488251990048962825668835325234200766245086213177344000000000000000000), (26658043511412111005568522355730199819899625033825111232944509558215974403492828526659776295158979047636024894828273847/894618213078297528685144171539831652069808216779571907213868063227837990693501860533361810841010176000000000000000000), (21807802149253454071147213699163251130881848138407872513794236525987877801086538862063615475276580939330630167112292859/722923808548119215099106401244308405712976336791573258354640859174010497530102513562312574416977920000000000000000000), (4784038078804768029107432120055365589300905681745911853695987661258218109167361659919484178374476239900086629774587522813/156679081641820756375127952204813759605739384992746647533672028370713248099834920439356338763506647040000000000000000000), (14689648296528529648508478558901569308757489378638989293801742546959330535300688231330603129684403814409355158046172020650963/475364333701284174842138206989404946643813294067993328617160934076743994734899148613007131808479167119360000000000000000000), (411251860047653875675505223147026077274936855421817735983219419320627289391056966158878591586997892502611113650856125419414857/13151746565735528837299157060040203523812167802547815425074785842789917187665543111626530646701256956968960000000000000000000), (733249717067277235182192447226848963118258455837238500553544323777592317209624563603061854123687233757020819007927104079766251/23176504437519952916079633420490428587417246756937409000831091135545868050991027021887312748032984287805440000000000000000000), (9016285779684763570309776512275399718175715618267932043696102549185432692609532926067254241953341795227246055681369693695251324869/281710411438055027694947944226061159480056634330574206405101912752560026159795933451040286452340924018275123200000000000000000000), (261437742454614140613426776417242241636604658233914596577364383495154615393367606070793027214953604238619916281213049202627057573213/8075698461224244127255174401147086571761623517476460583612921498906720749914150092263154878300439821857220198400000000000000000000), (6273695577973380033377366311359628131174266122020250169313633537405936529930305910556251269810079827333576482744109421413041240049757/191614299852684337928509138063580872293616703460123292029361137383150374157053924916425765748764981227703133798400000000000000000000), (198102340976093102032561128323903879227220755545633995922654495751651029535167905374288006750943876244038123659538533089345470399831399/5983311040561239971445059536953105947749063514496753118852309064093211683355748365132262620800145220271504306995200000000000000000000), (36528342657976012980378441644196372715901827890575702089662195190892599447980751341733033370019850078006483258111118429072111623603873/1091146484295621725244029298860044901172560396357759392882115189889164586845033362376886282688056095097434092339200000000000000000000), (50283921005279759902720926080199873856486989938637185917055545347650077524852599085344776177578582219271708852253346777002382060648404345371/1485715964481761497309522733620825737885569961284688766942216863704985393094065876545992131370884059645617234469978112000000000000000000000), (420506742556998624561983396656849340363092288390006427288578142566366211554177417054617431611509428183494537565830112424675058675165460449481/12290922978894572386833324432681376558871533316082425253794703145195788251959999524153207632250040857068288030615273472000000000000000000000), (143376220093054355402624933896676573656129903978367496111497711634599587715863044192013071807669064101216732507391709443492792048928816923434511/4146138018213769085158441441957851025859330571958471452280079860979379236994506506147682041279013782451035828994218917888000000000000000000000), (40427518229429847765389083754589495582507692605815217919523902626330447578818616875630919875130516425561164841578907008508260141030407367613103341/1156772507081641574759205162306240436214753229576413535186142281213246807121467315215203289516844845303838996289387078090752000000000000000000000), (3840188678972367855103906229488585348805783348156595015850354708421115357381675775638878115296608212886988963477979545734510942238509432477269942623/108736615665674308027365285256786601004186803580182872307497374434045199869417927630229109214583415458560865651202385340530688000000000000000000000), (11170245794422465209842959565889303658221367914540095666370271034753970334050549959757658406710304508129293970470196184956918665633795587208978068583/313029651158759371593930366648325063496901404245980996036734865794978605684687973480962587132891650562523704147400806283345920000000000000000000000), (35752156601232744731017366996538729597381842971337899597566802335400583977223401471197955253411422461977867249979989570788296872240522816363383165820129/991677934870949689209571401541893801158183648651267795444376054838492222809091499987689476037000748982075094738965754305639874560000000000000000000000), (269488194538177431437959007274538006533483389367156868002695449628612094139149391152208763185643555653354363580500659221569870380004505969809708431217189/7399443052498624604102186611504899900949524147628690473700344409179518893267836576831221475045313280866252629975359859049774448640000000000000000000000), (31558460190368334142403172251016987632596585387385351360123576545034640511335607814234249336435599042786906208463545257680087329214038704042662363131791/857847888696264241116224018842227907344589477120661722039697768431586774958888324586675417163320513224461356864920234819311370240000000000000000000000)]
2.718281828459045
[0, 1, (1/1), (3/2), (3/2), (15/8), (15/8), (35/16), (35/16), (315/128), (315/128), (693/256), (693/256), (3003/1024), (3003/1024), (6435/2048), (6435/2048), (109395/32768), (109395/32768), (230945/65536), (230945/65536), (969969/262144), (969969/262144), (2028117/524288), (2028117/524288), (16900975/4194304), (16900975/4194304), (35102025/8388608), (35102025/8388608), (145422675/33554432), (145422675/33554432), (300540195/67108864), (300540195/67108864), (9917826435/2147483648), (9917826435/2147483648), (20419054425/4294967296), (20419054425/4294967296), (83945001525/17179869184), (83945001525/17179869184), (172308161025/34359738368), (172308161025/34359738368), (1412926920405/274877906944), (1412926920405/274877906944), (2893136075115/549755813888), (2893136075115/549755813888), (11835556670925/2199023255552), (11835556670925/2199023255552), (24185702762325/4398046511104), (24185702762325/4398046511104), (395033145117975/70368744177664), (395033145117975/70368744177664), (805867616040669/140737488355328), (805867616040669/140737488355328), (3285460280781189/562949953421312), (3285460280781189/562949953421312), (6692604275665385/1125899906842624), (6692604275665385/1125899906842624), (54496920530418135/9007199254740992), (54496920530418135/9007199254740992), (110873045217057585/18014398509481984), (110873045217057585/18014398509481984), (450883717216034179/72057594037927936), (450883717216034179/72057594037927936), (916312070471295267/144115188075855872), (916312070471295267/144115188075855872), (59560284580634192355/9223372036854775808), (59560284580634192355/9223372036854775808), (120925426269772451145/18446744073709551616), (120925426269772451145/18446744073709551616), (490814965447899948765/73786976294838206464), (490814965447899948765/73786976294838206464), (995653215622882753209/147573952589676412928), (995653215622882753209/147573952589676412928), (8075853860052271220473/1180591620717411303424), (8075853860052271220473/1180591620717411303424), (16369974040646495717175/2361183241434822606848), (16369974040646495717175/2361183241434822606848), (66341473743672640538025/9444732965739290427392), (66341473743672640538025/9444732965739290427392), (134384010916670220577025/18889465931478580854784), (134384010916670220577025/18889465931478580854784), (2177020976850057573347805/302231454903657293676544), (2177020976850057573347805/302231454903657293676544), (4407140026306214111899215/604462909807314587353088), (4407140026306214111899215/604462909807314587353088), (17838423916001342833877775/2417851639229258349412352), (17838423916001342833877775/2417851639229258349412352), (36091694899816670384822475/4835703278458516698824704), (36091694899816670384822475/4835703278458516698824704), (292014622371243969477200025/38685626227668133590597632), (292014622371243969477200025/38685626227668133590597632), (590518458572960027165004495/77371252455336267181195264), (590518458572960027165004495/77371252455336267181195264), (2387748549881968805493279045/309485009821345068724781056), (2387748549881968805493279045/309485009821345068724781056), (4826300260399724181316202325/618970019642690137449562112), (4826300260399724181316202325/618970019642690137449562112), (156050375086257748529223875175/19807040628566084398385987584), (156050375086257748529223875175/19807040628566084398385987584), (315285451704888104171289053925/39614081257132168796771975168), (315285451704888104171289053925/39614081257132168796771975168), (1273753224887747940852007777857/158456325028528675187087900672), (1273753224887747940852007777857/158456325028528675187087900672), (2572482003204667409956015708221/316912650057057350374175801344), (2572482003204667409956015708221/316912650057057350374175801344), (20777739256653082926567819181785/2535301200456458802993406410752), (20777739256653082926567819181785/2535301200456458802993406410752), (41947511329469431568731257593415/5070602400912917605986812821504), (41947511329469431568731257593415/5070602400912917605986812821504), (169343656848598816333026188062305/20282409603651670423947251286016), (169343656848598816333026188062305/20282409603651670423947251286016), (341766289276263065690289215907561/40564819207303340847894502572032), (341766289276263065690289215907561/40564819207303340847894502572032), (5517084384031103774714668771079199/649037107316853453566312041152512), (5517084384031103774714668771079199/649037107316853453566312041152512), (11130959722168016387582226467966805/1298074214633706907132624082305024), (11130959722168016387582226467966805/1298074214633706907132624082305024), (44907665085988204046452430922486765/5192296858534827628530496329220096), (44907665085988204046452430922486765/5192296858534827628530496329220096), (90576477037840614941149818301286865/10384593717069655257060992658440192), (90576477037840614941149818301286865/10384593717069655257060992658440192), (730650248105247627191941867630380711/83076749736557242056487941267521536), (730650248105247627191941867630380711/83076749736557242056487941267521536), (1473278369130253412206702454402243073/166153499473114484112975882535043072), (1473278369130253412206702454402243073/166153499473114484112975882535043072), (5940638585202634726639929251621947875/664613997892457936451903530140172288), (5940638585202634726639929251621947875/664613997892457936451903530140172288), (11975573020964041433067793888190275875/1329227995784915872903807060280344576), (11975573020964041433067793888190275875/1329227995784915872903807060280344576), (1544848919704361344865745411576545587875/170141183460469231731687303715884105728), (1544848919704361344865745411576545587875/170141183460469231731687303715884105728), (3113464745865712864267886906408114954025/340282366920938463463374607431768211456), (3113464745865712864267886906408114954025/340282366920938463463374607431768211456), (12548206400004236695382695713705432996525/1361129467683753853853498429727072845824), (12548206400004236695382695713705432996525/1361129467683753853853498429727072845824), (25283699462695103789203939124630350067625/2722258935367507707706996859454145691648), (25283699462695103789203939124630350067625/2722258935367507707706996859454145691648), (203756872140542895242408215298491644662625/21778071482940061661655974875633165533184), (203756872140542895242408215298491644662625/21778071482940061661655974875633165533184), (410466742428050180270938288789715052291375/43556142965880123323311949751266331066368), (410466742428050180270938288789715052291375/43556142965880123323311949751266331066368), (1653594590924430726234351391981423496373825/174224571863520493293247799005065324265472), (1653594590924430726234351391981423496373825/174224571863520493293247799005065324265472), (3330479246509768927486088014835824788471225/348449143727040986586495598010130648530944), (3330479246509768927486088014835824788471225/348449143727040986586495598010130648530944), (53657721193768499387275862461243843814258625/5575186299632655785383929568162090376495104), (53657721193768499387275862461243843814258625/5575186299632655785383929568162090376495104), (108050479664163964519582901120586918365698875/11150372599265311570767859136324180752990208), (108050479664163964519582901120586918365698875/11150372599265311570767859136324180752990208), (435122201890822451713996007215336509094300875/44601490397061246283071436545296723011960832), (435122201890822451713996007215336509094300875/44601490397061246283071436545296723011960832), (876046033140189202784178627860210838309859095/89202980794122492566142873090593446023921664), (876046033140189202784178627860210838309859095/89202980794122492566142873090593446023921664), (7054475951076260422419964740137487276916233765/713623846352979940529142984724747568191373312), (7054475951076260422419964740137487276916233765/713623846352979940529142984724747568191373312), (14200568472945719032144084866510526336649561475/1427247692705959881058285969449495136382746624), (14200568472945719032144084866510526336649561475/1427247692705959881058285969449495136382746624), (57166391032114817642221059590824426534717465425/5708990770823839524233143877797980545530986496), (57166391032114817642221059590824426534717465425/5708990770823839524233143877797980545530986496), (115056407267167797533077828796722579987595911425/11417981541647679048466287755595961091061972992), (115056407267167797533077828796722579987595911425/11417981541647679048466287755595961091061972992), (3704816314002803080565106087254467075600588347885/365375409332725729550921208179070754913983135744), (3704816314002803080565106087254467075600588347885/365375409332725729550921208179070754913983135744), (7455371101017986446075460397808372016332048156855/730750818665451459101842416358141509827966271488), (7455371101017986446075460397808372016332048156855/730750818665451459101842416358141509827966271488), (30003322723608969843962218674106862992555803558075/2923003274661805836407369665432566039311865085952), (30003322723608969843962218674106862992555803558075/2923003274661805836407369665432566039311865085952), (60368131263165035710140849621395736382612279448175/5846006549323611672814739330865132078623730171904), (60368131263165035710140849621395736382612279448175/5846006549323611672814739330865132078623730171904), (485819723022613858810181123143613307079117867940075/46768052394588893382517914646921056628989841375232), (485819723022613858810181123143613307079117867940075/46768052394588893382517914646921056628989841375232), (977354972198434939488717318324210300123872416679445/93536104789177786765035829293842113257979682750464), (977354972198434939488717318324210300123872416679445/93536104789177786765035829293842113257979682750464), (3932149074193703361198792931862520509800696001989395/374144419156711147060143317175368453031918731001856), (3932149074193703361198792931862520509800696001989395/374144419156711147060143317175368453031918731001856), (7909495264182736646089526012367138956495652877564875/748288838313422294120286634350736906063837462003712), (7909495264182736646089526012367138956495652877564875/748288838313422294120286634350736906063837462003712), (127270969250940398759804191289907599572702778120816625/11972621413014756705924586149611790497021399392059392), (127270969250940398759804191289907599572702778120816625/11972621413014756705924586149611790497021399392059392), (255971949392340802000055620684196183410267385209282875/23945242826029513411849172299223580994042798784118784), (255971949392340802000055620684196183410267385209282875/23945242826029513411849172299223580994042798784118784), (1029576063111415225822445940974211315494631038286226675/95780971304118053647396689196894323976171195136475136), (1029576063111415225822445940974211315494631038286226675/95780971304118053647396689196894323976171195136475136), (2070466148894384465115468210970117260829862417652521775/191561942608236107294793378393788647952342390272950272), (2070466148894384465115468210970117260829862417652521775/191561942608236107294793378393788647952342390272950272), (16653749458498309828102679088237899706674980315900718625/1532495540865888858358347027150309183618739122183602176), (16653749458498309828102679088237899706674980315900718625/1532495540865888858358347027150309183618739122183602176), (33486571491819182127475279456994486506970121710467036375/3064991081731777716716694054300618367237478244367204352), (33486571491819182127475279456994486506970121710467036375/3064991081731777716716694054300618367237478244367204352), (134658766211783519618996336539828892549305383048473827125/12259964326927110866866776217202473468949912977468817408), (134658766211783519618996336539828892549305383048473827125/12259964326927110866866776217202473468949912977468817408), (270734993120533181549771581885340194493866612234300010325/24519928653854221733733552434404946937899825954937634816), (270734993120533181549771581885340194493866612234300010325/24519928653854221733733552434404946937899825954937634816), (17417284557420968013035305101290219179105418720406633997575/1569275433846670190958947355801916604025588861116008628224), (17417284557420968013035305101290219179105418720406633997575/1569275433846670190958947355801916604025588861116008628224), (35014128749454523325174066956201987009541821138961789995125/3138550867693340381917894711603833208051177722232017256448), (35014128749454523325174066956201987009541821138961789995125/3138550867693340381917894711603833208051177722232017256448), (140771089053929410103250840619832478385300791109703523041625/12554203470773361527671578846415332832204710888928069025792), (140771089053929410103250840619832478385300791109703523041625/12554203470773361527671578846415332832204710888928069025792), (282964108300322753641888053367138012107826842735666677629125/25108406941546723055343157692830665664409421777856138051584)]
3.149456428081303