160820(2)

Ruby

Denominators of Apéry's rational approximations p_n/q_n to zeta(3)(1)

オンライン整数列大辞典の

A059415、A059416、A005259
を用いて、数列

6 / (1 * 5),

351 / (4 * 73),

62531 / (36 * 1445),

11424695 / (288 * 33001),

…

を作る。すると、この数列はζ(3) に収束する。

定義より、A059415(n) とA059416(n) は互いに素なので、
もしA059415(n) とA005259(n) が互いに素ならば、
A059415(n) とA059416(n) * A005259(n) は互いに素と言える。
すなわち、もしA059415(n) とA005259(n) が互いに素ならば、
A257045(n) = A059416(n) * A005259(n) が言える。

ちなみに次のコードを実行しても何も出力されないので、
n ≦ 15000 のとき、
A059415(n) とA005259(n) は互いに素である。

n = 15000
i = 0
a, b = 0, 6
c, d = 1, 5
while i < n
  i += 1
  a, b = b, ((((34 * i + 51) * i + 27) * i + 5) * b - i ** 3 * a) / (i + 1r) ** 3
  c, d = d, ((((34 * i + 51) * i + 27) * i + 5) * d - i ** 3 * c) / (i + 1) ** 3
  p i if a.numerator.gcd(c) > 1
end