200502

PARI


A330905とA330906(1)

B_n をベルヌーイ数とし、
b(n) = B_n / n! とおく。
Ramanujan は以下の式を証明している。
Sum_{k>0} 1 / (k^(4*n+3) * tanh(Pi * k))
= 1/2 * (2*Pi)^(4*n+3) * Sum_{k=0..2*n+2} (-1)^(k+1) * b(2*k) * b(4*n+4-2*k).

この式を確かめたいので、以下のように変形しておく。
(2*Pi)^(4*n+3) / (2 * Sum_{k>0} 1 / (k^(4*n+3) * tanh(Pi * k)))
= 1 / Sum_{k=0..2*n+2} (-1)^(k+1) * b(2*k) * b(4*n+4-2*k).

PARI で以下を計算してみた。
・左辺の近似
・右辺の小数点表示
・右辺

(20:01) gp > a(n) = (2*Pi)^(4*n+3)/(2*sum(k=1, 1e5, 1/(k^(4*n+3)*tanh(Pi*k))));
(20:01) gp > b(n) = bernfrac(n)/n!;
(20:01) gp > c(n) = 1./sum(k=0, 2*n+2, (-1)^(k+1)*b(2*k)*b(4*n+4-2*k));
(20:01) gp > for(n=0, 15, print(n, " ", a(n), ", ", c(n)))
0 102.85714286140791537238401578455415888, 102.85714285714285714285714285714285714
1 190989.47368421052631578947368424203205, 190989.47368421052631578947368421052632
2 299994119.75223675154852030282174811046, 299994119.75223675154852030282174810736
3 467770417602.68868269160517279170015397, 467770417602.68868269160517279170015343
4 729062290145074.01339579741266079413018, 729062290145074.01339579741266079412994
5 1136278745069845523.6788794377714389477, 1136278745069845523.6788794377714389475
6 1770942272696454712718.5728260712558869, 1770942272696454712718.5728260712558868
7 2760094052120487610477090.9028015566731, 2760094052120487610477090.9028015566730
8 4301732046437584164240285656.1584123002, 4301732046437584164240285656.1584123001
9 6704444936427436938855870102292.5590515, 6704444936427436938855870102292.5590516
10 10449182194336422920902110427614039.942, 10449182194336422920902110427614039.942
11 1.6285525433585632742121198283458288818 E37, 1.6285525433585632742121198283458288818 E37
12 2.5381731671947447046974678469684691899 E40, 2.5381731671947447046974678469684691900 E40
13 3.9558582576533644484189622424332846786 E43, 3.9558582576533644484189622424332846787 E43
14 6.1653849141978696979807423115405833693 E46, 6.1653849141978696979807423115405833693 E46
15 9.6090326458682495355731770685878697235 E49, 9.6090326458682495355731770685878697236 E49
(20:01) gp > d(n) = 1/sum(k=0, 2*n+2, (-1)^(k+1)*b(2*k)*b(4*n+4-2*k));
(20:01) gp > for(n=0, 15, print(n, " ", d(n)))
0 720/7
1 3628800/19
2 435891456000/1453
3 6402373705728000/13687
4 5620003638888038400000/7708537
5 5081472410195231008358400000/4472029801
6 265252859812191058636308480000000/149780635937
7 30999443899158434788999954012569600000000/11231299844779783
8 15865019396486900390053552464368920166400000000/3688053840923281541
9 17832769956094244866124502310026493003038720000000000/2659842854283579394387
10 12839451706228207549650712667200594750243854090240000000000/1228751826452728351300837
11 1099884206876507435068099593496415004208493256012044697600000000000/67537532722660373286810600661
12 6383309881175603783793414201893673685057979412493432258560000000000000/251492292317888012003479295207
13 1007383427692662245069774961649317721640940993506204110466014248960000000000000/25465609788816025420512226447159951
14 8289853482539033016625993546659398645289550810014602743251403004228665344000000000000000/134458003805226512911690964066005527717583
15 2135507068688430481860783942510767721912226637217595584705835882334863472197632000000000000000/22223954766213317384532039590736747648635617
(20:01) gp >