200502(2)

PARI


A330905とA330906(2)

B_n をベルヌーイ数とし、
b(n) = (1-2^(n-1)) * B_n / n! とおく。
以下の式が成り立つ。
Sum_{k>0} (-1)^(k+1) / (k^(4*n+3) * sinh(Pi * k))
= Pi^(4*n+3) * Sum_{k=0..2*n+2} (-1)^k * b(2*k) * b(4*n+4-2*k).

この式を確かめたいので、以下のように変形しておく。
Pi^(4*n+3) / Sum_{k>0} (-1)^(k+1) / (k^(4*n+3) * sinh(Pi * k))
= 1 / Sum_{k=0..2*n+2} (-1)^k * b(2*k) * b(4*n+4-2*k).

PARI で以下を計算してみた。
・左辺の近似
・右辺の小数点表示
・右辺

(20:07) gp > a(n) = Pi^(4*n+3)/sum(k=1, 1e3, (-1)^(k+1)/(k^(4*n+3)*sinh(Pi*k)));
(20:07) gp > b(n) = (1-2^(n-1))*bernfrac(n)/n!;
(20:07) gp > c(n) = 1./sum(k=0, 2*n+2, (-1)^k*b(2*k)*b(4*n+4-2*k));
(20:07) gp > for(n=0, 15, print(n, " ", a(n), ", ", c(n)))
0 360.00000000000000000000000000000000000, 360.00000000000000000000000000000000000
1 34892.307692307692307692307692307692307, 34892.307692307692307692307692307692308
2 3397757.0466450486405587428286355699675, 3397757.0466450486405587428286355699676
3 330965893.87873935512046000436713006769, 330965893.87873935512046000436713006769
4 32239047105.289252291789907094360794212, 32239047105.289252291789907094360794212
5 3140376032121.1543878520200862031670201, 3140376032121.1543878520200862031670202
6 305901173319289.18736149200209787146546, 305901173319289.18736149200209787146547
7 29797555230289305.236886951798435957311, 29797555230289305.236886951798435957311
8 2902552769963310768.7081963347143234222, 2902552769963310768.7081963347143234222
9 282735027000019326514.75198821663551665, 282735027000019326514.75198821663551666
10 27540961983543993800640.575424040179925, 27540961983543993800640.575424040179926
11 2682740073019024892772930.4983112005454, 2682740073019024892772930.4983112005455
12 261323271993276466380937060.90503864062, 261323271993276466380937060.90503864063
13 25455262390896446399109395243.853963842, 25455262390896446399109395243.853963843
14 2479573971529250477868053848163.8705205, 2479573971529250477868053848163.8705206
15 241533046718235727283534125686156.70937, 241533046718235727283534125686156.70938
(20:07) gp > d(n) = 1/sum(k=0, 2*n+2, (-1)^k*b(2*k)*b(4*n+4-2*k));
(20:07) gp > for(n=0, 15, print(n, " ", d(n)))
0 360
1 453600/13
2 13621608000/4009
3 4547140416000/13739
4 844351508246400000/26190337
5 2481187700290640140800000/790092547807
6 4625642784113264833920000000/15121363327643
7 72771380848009396571232614400000000/2442193001593535677
8 121040492221732333298138065066291200000000/41701392468830919939353
9 4859044199288026228257452368062289920000000000/17185858614142258665062467
10 470948281883394078095168798417333263626240000000000/17099921279612182344285033157
11 75909503357294871843169209382788539223253261516800000000000/28295511786898541163838004665601843
12 190237458979356401675743287858178427370130402222080000000000000/727977487532189566289706245511979571
13 577353186156120578296926710267088574653027718747008368640000000000000/22681093492188834346091000609641534617709
14 293380052164647034026484708090366002657453465071092270541520150528000000000000000/118318733594266620784339626611081721895773642441001
15 142060424380033042937835408541691071880198126207611096803753229811712000000000000000/588161439232602912110323381690338959839367310791017
(20:07) gp >