211213

Ruby


ナゴヤ三角形について(3)

一つの角が90度の、全ての辺の長さが整数の三角形について考えます。

このうち、辺の長さが互いに素な場合（原始ピタゴラス数）を計算すると以下のようになります。

def A(n)
  ary = []
  (1..n).each{|i|
    (i + 1..n).each{|j|
      if i.gcd(j) == 1 && (i - j) % 2 > 0
        x, y, z = j * j, i * j, i * i
        b = y + y
        c = x + z 
        a = x - z
        ary << [a, b, c]
      end
    }
  }
  ary
end

n = 10
A(n).sort.each{|i| p i}

出力結果

[3, 4, 5]

[5, 12, 13]

[7, 24, 25]

[9, 40, 41]

[11, 60, 61]

[13, 84, 85]

[15, 8, 17]

[15, 112, 113]

[17, 144, 145]

[19, 180, 181]

[21, 20, 29]

[33, 56, 65]

[35, 12, 37]

[39, 80, 89]

[45, 28, 53]

[51, 140, 149]

[55, 48, 73]

[63, 16, 65]

[65, 72, 97]

[77, 36, 85]

[91, 60, 109]

[99, 20, 101]

211212

Ruby


ナゴヤ三角形について(2)

一つの角が120度の、全ての辺の長さが整数の三角形について考えます。

このうち、辺の長さが互いに素な場合を計算すると以下のようになります。

def A(n)
  ary = []
  (1..n).each{|i|
    (i + 1..n).each{|j|
      if i.gcd(j) == 1 && (i - j) % 3 > 0
        x, y, z = j * j, i * j, i * i
        b = x + y + y
        c = x + y + z 
        a = y + y + z
        ary << [b - a, a, c]
      end
    }
  }
  ary
end

n = 10
A(n).sort.each{|i| p i}

出力結果

[3, 5, 7]

[5, 16, 19]

[7, 33, 37]

[8, 7, 13]

[9, 56, 61]

[11, 85, 91]

[13, 120, 127]

[15, 161, 169]

[16, 39, 49]

[17, 208, 217]

[19, 261, 271]

[24, 11, 31]

[24, 95, 109]

[32, 175, 193]

[35, 13, 43]

[40, 51, 79]

[45, 32, 67]

[55, 57, 97]

[56, 115, 151]

[63, 17, 73]

[65, 88, 133]

[77, 40, 103]

[80, 19, 91]

[91, 69, 139]

211211

Ruby


ナゴヤ三角形について(1)

この記事は
日曜数学 Advent Calendar 2021
の12/11 分として書いております。

ナゴヤ三角形とは、一松　信氏命名の三角形の名称で、

一つの角が60度の、全ての辺の長さが整数の三角形（ただし、正三角形は除く）

のことです。

大学受験数学で頻出のものに、(3, 7, 8)や(5, 7, 8)があります。

辺の長さが互いに素な場合を原始的（primitive）とよびます。

原始的なナゴヤ三角形は、適当な正の整数m, n(0 < n < m)により、

2*m*n+n^2, m^2+m*n+n^2, m^2+2*m*n

もしくは

m^2 - n^2, m^2+m*n+n^2, m^2+2*m*n

のいずれかの形で一通りで表されます。

ここで注意しないといけない事は、

m, nに適当な値を入れると原始的でなくなる

ということです。

(m, n)=1, m-nが3で割り切れない

という条件が必要です。 

これらをもとに、原始的なナゴヤ三角形を計算すると以下のようになります。

def A(n)
  ary = []
  (1..n).each{|i|
    (i + 1..n).each{|j|
      if i.gcd(j) == 1 && (i - j) % 3 > 0
        x, y, z = j * j, i * j, i * i
        b = x + y + y
        c = x + y + z 
        a = y + y + z
        ary << [    a, b, c]
        ary << [b - a, b, c]
      end
    }
  }
  ary
end

n = 10
A(n).sort.each{|i| p i}

出力結果

[3, 8, 7]

[5, 8, 7]

[5, 21, 19]

[7, 15, 13]

[7, 40, 37]

[8, 15, 13]

[9, 65, 61]

[11, 35, 31]

[11, 96, 91]

[13, 48, 43]

[13, 133, 127]

[15, 176, 169]

[16, 21, 19]

[16, 55, 49]

[17, 80, 73]

[17, 225, 217]

[19, 99, 91]

[19, 280, 271]

[24, 35, 31]

[24, 119, 109]

[32, 77, 67]

[32, 207, 193]

[33, 40, 37]

[35, 48, 43]

[39, 55, 49]

[40, 91, 79]

[40, 117, 103]

[45, 77, 67]

[51, 91, 79]

[55, 112, 97]

[56, 65, 61]

[56, 171, 151]

[57, 112, 97]

[63, 80, 73]

[65, 153, 133]

[69, 160, 139]

[77, 117, 103]

[80, 99, 91]

[85, 96, 91]

[88, 153, 133]

[91, 160, 139]

[95, 119, 109]

[115, 171, 151]

[120, 133, 127]

[161, 176, 169]

[175, 207, 193]

[208, 225, 217]

[261, 280, 271]

211106

Ruby


Numbers k such that k^2 is palindromic in base b

出力してみた。

def A(k, n)
  i = (n * n).to_s(k)
  i == i.reverse
end

def B(k, n)
  m = 0
  cnt = 0
  ary = []
  while cnt < n
    if A(k, m)
      cnt += 1
      ary << m
    end
    m += 1
  end
  ary
end

n = 10
(2..36).each{|i|
  p [i, B(i, n)]
}

出力結果

[2, [0, 1, 3, 4523, 11991, 18197, 141683, 1092489, 3168099, 6435309]]

[3, [0, 1, 2, 4, 10, 11, 20, 22, 28, 34]]

[4, [0, 1, 5, 17, 21, 65, 71, 83, 257, 273]]

[5, [0, 1, 2, 6, 26, 31, 66, 126, 156, 626]]

[6, [0, 1, 2, 7, 37, 43, 76, 91, 217, 259]]

[7, [0, 1, 2, 4, 8, 10, 11, 20, 32, 40]]

[8, [0, 1, 2, 3, 6, 9, 11, 27, 65, 73]]

[9, [0, 1, 2, 10, 20, 82, 91, 100, 164, 730]]

[10, [0, 1, 2, 3, 11, 22, 26, 101, 111, 121]]

[11, [0, 1, 2, 3, 6, 12, 24, 26, 72, 84]]

[12, [0, 1, 2, 3, 13, 26, 145, 157, 169, 179]]

[13, [0, 1, 2, 3, 14, 28, 170, 183, 196, 209]]

[14, [0, 1, 2, 3, 15, 24, 30, 47, 165, 197]]

[15, [0, 1, 2, 3, 4, 8, 12, 16, 19, 32]]

[16, [0, 1, 2, 3, 17, 34, 257, 273, 289, 305]]

[17, [0, 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 28, 36]]

[18, [0, 1, 2, 3, 4, 19, 38, 49, 65, 325]]

[19, [0, 1, 2, 3, 4, 10, 20, 40, 60, 64]]

[20, [0, 1, 2, 3, 4, 21, 42, 45, 63, 273]]

[21, [0, 1, 2, 3, 4, 22, 29, 44, 56, 66]]

[22, [0, 1, 2, 3, 4, 23, 39, 46, 51, 69]]

[23, [0, 1, 2, 3, 4, 12, 24, 48, 57, 58]]

[24, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20, 25]]

[25, [0, 1, 2, 3, 4, 26, 52, 66, 78, 626]]

[26, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 9, 18, 27, 54]]

[27, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 14, 28, 56, 84]]

[28, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 29, 58, 87, 785]]

[29, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 30, 60, 69, 81]]

[30, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 31, 41, 62, 93]]

[31, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 16, 24, 32]]

[32, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 33, 66, 70, 99]]

[33, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 34, 43, 60, 68]]

[34, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 35, 70, 105, 127]]

[35, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 18, 24]]

[36, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 37, 74, 111, 133]]

211009

Ruby


Stirling number

第１種スターリング数および第２種スターリング数を計算してみた。
第１種については

「数の本」、「コンピュータの数学」

にある通り、符号なしで出力してみる。

# 符号は無視
def stirling(n, k = 1)
  a = [1]
  p [0, a]
  (1..n).each{|i|
    a << 0
    b = [0]
    (0..i - 1).each{|j|
      if k == 2
        b[j + 1] = a[j] + (j + 1) * a[j + 1]
      else
        b[j + 1] = a[j] + (i - 1) * a[j + 1]
      end
    }
    a = b
    p [i, a]
  }
end

n = 10
stirling(n)
p ""
stirling(n, 2)

出力結果

[0, [1]]

[1, [0, 1]]

[2, [0, 1, 1]]

[3, [0, 2, 3, 1]]

[4, [0, 6, 11, 6, 1]]

[5, [0, 24, 50, 35, 10, 1]]

[6, [0, 120, 274, 225, 85, 15, 1]]

[7, [0, 720, 1764, 1624, 735, 175, 21, 1]]

[8, [0, 5040, 13068, 13132, 6769, 1960, 322, 28, 1]]

[9, [0, 40320, 109584, 118124, 67284, 22449, 4536, 546, 36, 1]]

[10, [0, 362880, 1026576, 1172700, 723680, 269325, 63273, 9450, 870, 45, 1]]

""

[0, [1]]

[1, [0, 1]]

[2, [0, 1, 1]]

[3, [0, 1, 3, 1]]

[4, [0, 1, 7, 6, 1]]

[5, [0, 1, 15, 25, 10, 1]]

[6, [0, 1, 31, 90, 65, 15, 1]]

[7, [0, 1, 63, 301, 350, 140, 21, 1]]

[8, [0, 1, 127, 966, 1701, 1050, 266, 28, 1]]

[9, [0, 1, 255, 3025, 7770, 6951, 2646, 462, 36, 1]]

[10, [0, 1, 511, 9330, 34105, 42525, 22827, 5880, 750, 45, 1]]

211007

Ruby


37で割り切れるpandigital number

2016年JJMO予選の問題をプログラミングで解いてみた。

0を含めない場合についても考えてみた。

def A(m, n)
  ary = []
  (m..n).to_a.permutation{|i|
    if i[0] > 0
      j = i.join.to_i
      ary << j if j % 37 == 0
    end
  }
  ary
end

def show(ary, n)
  p ary.size
  # 小さいものをn個表示
  p ary[0..n - 1]
  # 大きいものをn個表示
  p ary[-n..-1]
end

n = 10
show(A(0, 9), n)
# もし1から9の数字だったら
show(A(1, 9), n)

出力結果

85104

[1023654987, 1023657984, 1023684957, 1023687954, 1023745896, 1023746895, 1023795846, 1023796845, 1023845796, 1023846795]

[9876142305, 9876145302, 9876302145, 9876305142, 9876342105, 9876345102, 9876412035, 9876415032, 9876432015, 9876435012]

9072

[123564978, 123568974, 123574968, 123578964, 123645897, 123647895, 123695847, 123697845, 123845697, 123847695]

[987263415, 987265413, 987413265, 987415263, 987463215, 987465213, 987532146, 987536142, 987542136, 987546132]

210919

Ruby


π を分数で近似(4)

π = 4/(1 + 1^2/(3 + 2^2/(5 + 3^2/(7 + ...

を利用して、近似してみた。

def A(k, m, n)
  a, b = k, m
  ary = [k]
  (1..n).each{|i|
    a, b = b, (2 * i + 1) * b + i ** 2 * a
    ary << a
  }
  ary
end

n = 20
# A054765
p ary0 = A(0, 1, n)
# A012244
p ary1 = A(1, 1, n)
p (0..n).map{|i| 4 * ary0[i] / ary1[i].to_r}

出力結果

[0, 1, 3, 19, 160, 1744, 23184, 364176, 6598656, 135484416, 3108695040, 78831037440, 2189265960960, 66083318415360, 2154235544616960, 75425161203302400, 2822882994841190400, 112463980097804697600, 4752052488932268441600, 212264271642182654361600, 9993797542549672427520000]

[1, 1, 4, 24, 204, 2220, 29520, 463680, 8401680, 172504080, 3958113600, 100370793600, 2787459998400, 84139894238400, 2742857884166400, 96034297911552000, 3594206259195552000, 143193586818810528000, 6050501147565883008000, 270263264589232282368000, 12724498233251342778240000]

[(0/1), (4/1), (3/1), (19/6), (160/51), (1744/555), (644/205), (2529/805), (183296/58345), (3763456/1197945), (4317632/1374345), (54743776/17425485), (1013549056/322622685), (30594128896/9738413685), (35618973952/11337871545), (10392576224/3308059755), (3111643512832/990466892415), (123968232030208/39460313827935), (48501417558016/15438480702645), (1083228572868608/344802363740835), (4080033616887808/1298715036217599)]

210901

Ruby


A213261

p(7*n+5) を出力してみた。

def s(k, n)
  s = 0
  (1..n).each{|i| s += i if n % i == 0 && i % k == 0}
  s
end

def A(ary, n)
  a_ary = [1]
  a = [0] + (1..n).map{|i| ary.inject(0){|s, j| s + j[1] * s(j[0], i)}}
  (1..n).each{|i| a_ary << (1..i).inject(0){|s, j| s - a[j] * a_ary[-j]} / i}
  a_ary
end

n = 15
a = [7, 49]
ary = (0..1).map{|i| p [0] * i + A([[7, 4 * (i + 1) - 1], [1, -4 * (i + 1)]], n)}
(0..n).each{|i|
  print "#{(0..1).inject(0){|s, j| s + a[j] * ary[j][i]}} = "
  (0..1).each{|j|
    print " + " if j > 0
    print "#{a[j]} * #{ary[j][i]}"
  }
  puts
}

出力結果

[1, 4, 14, 40, 105, 252, 574, 1237, 2568, 5138, 9988, 18893, 34937, 63238, 112370, 196244]

[0, 1, 8, 44, 192, 726, 2464, 7704, 22521, 62281, 164252, 415796, 1015334, 2401462, 5519640, 12363062, 27047913]

7 = 7 * 1 + 49 * 0

77 = 7 * 4 + 49 * 1

490 = 7 * 14 + 49 * 8

2436 = 7 * 40 + 49 * 44

10143 = 7 * 105 + 49 * 192

37338 = 7 * 252 + 49 * 726

124754 = 7 * 574 + 49 * 2464

386155 = 7 * 1237 + 49 * 7704

1121505 = 7 * 2568 + 49 * 22521

3087735 = 7 * 5138 + 49 * 62281

8118264 = 7 * 9988 + 49 * 164252

20506255 = 7 * 18893 + 49 * 415796

49995925 = 7 * 34937 + 49 * 1015334

118114304 = 7 * 63238 + 49 * 2401462

271248950 = 7 * 112370 + 49 * 5519640

607163746 = 7 * 196244 + 49 * 12363062

210801

Ruby


A282919

p(49*n+47) を出力してみた。

def s(k, n)
  s = 0
  (1..n).each{|i| s += i if n % i == 0 && i % k == 0}
  s
end

def A(ary, n)
  a_ary = [1]
  a = [0] + (1..n).map{|i| ary.inject(0){|s, j| s + j[1] * s(j[0], i)}}
  (1..n).each{|i| a_ary << (1..i).inject(0){|s, j| s - a[j] * a_ary[-j]} / i}
  a_ary
end

n = 15
a =
[7 ** 2 * 2546, 7 ** 4 * 48934, 7 ** 5 * 1418989, 7 ** 7 * 2488800, 7 ** 9 * 2394438,
 7 ** 11 * 1437047, 7 ** 12 * 4043313, 7 ** 15 * 161744, 7 ** 17 * 32136, 7 ** 18 * 31734,
 7 ** 20 * 3120, 7 ** 22 * 204, 7 ** 24 * 8, 7 ** 25]
ary = (0..13).map{|i| p [0] * i + A([[7, 4 * (i + 1)], [1, -4 * (i + 1) - 1]], n)}
(0..n).each{|i|
  print "#{(0..13).inject(0){|s, j| s + a[j] * ary[j][i]}} = "
  (0..13).each{|j|
    print " + " if j > 0
    print "#{a[j]} * #{ary[j][i]}"
  }
  puts
}

出力結果

[1, 5, 20, 65, 190, 506, 1265, 2986, 6745, 14645, 30767, 62745, 124706, 242110, 460337, 858673]

[0, 1, 9, 54, 255, 1035, 3753, 12483, 38701, 113193, 315013, 839802, 2155905, 5352252, 12894426, 30233558, 69160869]

[0, 0, 1, 13, 104, 637, 3276, 14820, 60697, 229360, 810498, 2705118, 8592857, 26134654, 76476816, 216174700, 592220696, 1576826355]

[0, 0, 0, 1, 17, 170, 1275, 7905, 42619, 206091, 912459, 3753328, 14500320, 53053498, 185046190, 618555931, 1990227519, 6186291009, 18633598578]

[0, 0, 0, 0, 1, 21, 252, 2233, 16170, 100926, 560945, 2837398, 13265679, 57989435, 239125579, 936702879, 3505361650, 12590400326, 43572202835, 145770820937]

[0, 0, 0, 0, 0, 1, 25, 350, 3575, 29575, 209405, 1312675, 7452201, 38939275, 189537775, 867436570, 3760131375, 15529994130, 61413915500, 233488417752, 856388420815]

[0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 29, 464, 5365, 49880, 394632, 2750969, 17296732, 99742368, 534126988, 2681856693, 12722233068, 57373155952, 247218913828, 1022189562610, 4070289420139]

[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 33, 594, 7667, 79101, 691119, 5299019, 36518791, 230122266, 1343028082, 7331536586, 37731144564, 184232285897, 857974579385, 3827695162667, 16420097827188]

[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 37, 740, 10545, 119510, 1142338, 9548849, 71529474, 488650453, 3084466705, 18173253703, 100751920597, 529029597362, 2645187324766, 12651654794629, 58105915432081]

[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 41, 902, 14063, 173635, 1801745, 16300739, 131814181, 969824701, 6579564585, 41587633402, 246925024493, 1386436741480, 7402293438974, 37755020009290, 184685764132377]

[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 45, 1080, 18285, 244260, 2733804, 26606745, 230915656, 1819708110, 13198528010, 89041203249, 563420646090, 3366705675744, 19105222953420, 103448715353372, 536621238174195]

[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 49, 1274, 23275, 334425, 4015011, 41818315, 387605443, 3256150548, 25135003348, 180196297050, 1210028211210, 7663549175191, 46039891115155, 263630633610437, 1444741006154614]

[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 53, 1484, 29097, 447426, 5734918, 63638001, 627260142, 5594403499, 45779730871, 347453597091, 2466970932027, 16501339314082, 104588498225862, 631215364345159, 3642533720923593]

[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 57, 1710, 35815, 586815, 7997157, 94175267, 983458849, 9279004863, 80218101555, 642408637594, 4807304399931, 33855173217278, 225702273908048, 1431470152072364, 8673471170235715]

124754 = 124754 * 1 + 117490534 * 0 + 23848948123 * 0 + 2049633818400 * 0 + 96624210037866 * 0 + 2841511464047921 * 0 + 55964656476536913 * 0 + 767889588864220592 * 0 + 7475814197492884152 * 0 + 51676077116090188566 * 0 + 248951870848549443120 * 0 + 797603493910929561996 * 0 + 1532649851044531315208 * 0 + 1341068619663964900807 * 0

118114304 = 124754 * 5 + 117490534 * 1 + 23848948123 * 0 + 2049633818400 * 0 + 96624210037866 * 0 + 2841511464047921 * 0 + 55964656476536913 * 0 + 767889588864220592 * 0 + 7475814197492884152 * 0 + 51676077116090188566 * 0 + 248951870848549443120 * 0 + 797603493910929561996 * 0 + 1532649851044531315208 * 0 + 1341068619663964900807 * 0

24908858009 = 124754 * 20 + 117490534 * 9 + 23848948123 * 1 + 2049633818400 * 0 + 96624210037866 * 0 + 2841511464047921 * 0 + 55964656476536913 * 0 + 767889588864220592 * 0 + 7475814197492884152 * 0 + 51676077116090188566 * 0 + 248951870848549443120 * 0 + 797603493910929561996 * 0 + 1532649851044531315208 * 0 + 1341068619663964900807 * 0

2366022741845 = 124754 * 65 + 117490534 * 54 + 23848948123 * 13 + 2049633818400 * 1 + 96624210037866 * 0 + 2841511464047921 * 0 + 55964656476536913 * 0 + 767889588864220592 * 0 + 7475814197492884152 * 0 + 51676077116090188566 * 0 + 248951870848549443120 * 0 + 797603493910929561996 * 0 + 1532649851044531315208 * 0 + 1341068619663964900807 * 0

133978259344888 = 124754 * 190 + 117490534 * 255 + 23848948123 * 104 + 2049633818400 * 17 + 96624210037866 * 1 + 2841511464047921 * 0 + 55964656476536913 * 0 + 767889588864220592 * 0 + 7475814197492884152 * 0 + 51676077116090188566 * 0 + 248951870848549443120 * 0 + 797603493910929561996 * 0 + 1532649851044531315208 * 0 + 1341068619663964900807 * 0

5234371069753672 = 124754 * 506 + 117490534 * 1035 + 23848948123 * 637 + 2049633818400 * 170 + 96624210037866 * 21 + 2841511464047921 * 1 + 55964656476536913 * 0 + 767889588864220592 * 0 + 7475814197492884152 * 0 + 51676077116090188566 * 0 + 248951870848549443120 * 0 + 797603493910929561996 * 0 + 1532649851044531315208 * 0 + 1341068619663964900807 * 0

154043597379576030 = 124754 * 1265 + 117490534 * 3753 + 23848948123 * 3276 + 2049633818400 * 1275 + 96624210037866 * 252 + 2841511464047921 * 25 + 55964656476536913 * 1 + 767889588864220592 * 0 + 7475814197492884152 * 0 + 51676077116090188566 * 0 + 248951870848549443120 * 0 + 797603493910929561996 * 0 + 1532649851044531315208 * 0 + 1341068619663964900807 * 0

3617712763867604423 = 124754 * 2986 + 117490534 * 12483 + 23848948123 * 14820 + 2049633818400 * 7905 + 96624210037866 * 2233 + 2841511464047921 * 350 + 55964656476536913 * 29 + 767889588864220592 * 1 + 7475814197492884152 * 0 + 51676077116090188566 * 0 + 248951870848549443120 * 0 + 797603493910929561996 * 0 + 1532649851044531315208 * 0 + 1341068619663964900807 * 0

70593393646562135510 = 124754 * 6745 + 117490534 * 38701 + 23848948123 * 60697 + 2049633818400 * 42619 + 96624210037866 * 16170 + 2841511464047921 * 3575 + 55964656476536913 * 464 + 767889588864220592 * 33 + 7475814197492884152 * 1 + 51676077116090188566 * 0 + 248951870848549443120 * 0 + 797603493910929561996 * 0 + 1532649851044531315208 * 0 + 1341068619663964900807 * 0

1178875491155735802646 = 124754 * 14645 + 117490534 * 113193 + 23848948123 * 229360 + 2049633818400 * 206091 + 96624210037866 * 100926 + 2841511464047921 * 29575 + 55964656476536913 * 5365 + 767889588864220592 * 594 + 7475814197492884152 * 37 + 51676077116090188566 * 1 + 248951870848549443120 * 0 + 797603493910929561996 * 0 + 1532649851044531315208 * 0 + 1341068619663964900807 * 0

17229817230617210720599 = 124754 * 30767 + 117490534 * 315013 + 23848948123 * 810498 + 2049633818400 * 912459 + 96624210037866 * 560945 + 2841511464047921 * 209405 + 55964656476536913 * 49880 + 767889588864220592 * 7667 + 7475814197492884152 * 740 + 51676077116090188566 * 41 + 248951870848549443120 * 1 + 797603493910929561996 * 0 + 1532649851044531315208 * 0 + 1341068619663964900807 * 0

224282898599046831034631 = 124754 * 62745 + 117490534 * 839802 + 23848948123 * 2705118 + 2049633818400 * 3753328 + 96624210037866 * 2837398 + 2841511464047921 * 1312675 + 55964656476536913 * 394632 + 767889588864220592 * 79101 + 7475814197492884152 * 10545 + 51676077116090188566 * 902 + 248951870848549443120 * 45 + 797603493910929561996 * 1 + 1532649851044531315208 * 0 + 1341068619663964900807 * 0

2636785814481962651219075 = 124754 * 124706 + 117490534 * 2155905 + 23848948123 * 8592857 + 2049633818400 * 14500320 + 96624210037866 * 13265679 + 2841511464047921 * 7452201 + 55964656476536913 * 2750969 + 767889588864220592 * 691119 + 7475814197492884152 * 119510 + 51676077116090188566 * 14063 + 248951870848549443120 * 1080 + 797603493910929561996 * 49 + 1532649851044531315208 * 1 + 1341068619663964900807 * 0

28316911738879831363625420 = 124754 * 242110 + 117490534 * 5352252 + 23848948123 * 26134654 + 2049633818400 * 53053498 + 96624210037866 * 57989435 + 2841511464047921 * 38939275 + 55964656476536913 * 17296732 + 767889588864220592 * 5299019 + 7475814197492884152 * 1142338 + 51676077116090188566 * 173635 + 248951870848549443120 * 18285 + 797603493910929561996 * 1274 + 1532649851044531315208 * 53 + 1341068619663964900807 * 1

280403140023083872114273884 = 124754 * 460337 + 117490534 * 12894426 + 23848948123 * 76476816 + 2049633818400 * 185046190 + 96624210037866 * 239125579 + 2841511464047921 * 189537775 + 55964656476536913 * 99742368 + 767889588864220592 * 36518791 + 7475814197492884152 * 9548849 + 51676077116090188566 * 1801745 + 248951870848549443120 * 244260 + 797603493910929561996 * 23275 + 1532649851044531315208 * 1484 + 1341068619663964900807 * 57

2580469549453004933593920862 = 124754 * 858673 + 117490534 * 30233558 + 23848948123 * 216174700 + 2049633818400 * 618555931 + 96624210037866 * 936702879 + 2841511464047921 * 867436570 + 55964656476536913 * 534126988 + 767889588864220592 * 230122266 + 7475814197492884152 * 71529474 + 51676077116090188566 * 16300739 + 248951870848549443120 * 2733804 + 797603493910929561996 * 334425 + 1532649851044531315208 * 29097 + 1341068619663964900807 * 1710

210731

Ruby

A278559

p(25*n+24) を出力してみた。

def s(k, n)
  s = 0
  (1..n).each{|i| s += i if n % i == 0 && i % k == 0}
  s
end

def A(ary, n)
  a_ary = [1]
  a = [0] + (1..n).map{|i| ary.inject(0){|s, j| s + j[1] * s(j[0], i)}}
  (1..n).each{|i| a_ary << (1..i).inject(0){|s, j| s - a[j] * a_ary[-j]} / i}
  a_ary
end

n = 10
a = [5 ** 2 * 63, 5 ** 5 * 52, 5 ** 7 * 63, 5 ** 10 * 6, 5 ** 12]
ary = (0..4).map{|i| p [0] * i + A([[5, 6 * (i + 1)], [1, -6 * (i + 1) - 1]], n)}
(0..n).each{|i|
  print "#{(0..4).inject(0){|s, j| s + a[j] * ary[j][i]}} = "
  (0..4).each{|j|
    print " + " if j > 0
    print "#{a[j]} * #{ary[j][i]}"
  }
  puts
}

出力結果

[1, 7, 35, 140, 490, 1541, 4480, 12195, 31465, 77525, 183626]

[0, 1, 13, 104, 637, 3276, 14808, 60541, 228124, 803010, 2667054, 8422715]

[0, 0, 1, 19, 209, 1710, 11495, 66862, 347339, 1645875, 7221520, 29668595, 115116233]

[0, 0, 0, 1, 25, 350, 3575, 29575, 209381, 1312075, 7443825, 38854075, 188836375, 862496902]

[0, 0, 0, 0, 1, 31, 527, 6448, 63240, 526443, 3852742, 25380847, 153068700, 855816380, 4479330091]

1575 = 1575 * 1 + 162500 * 0 + 4921875 * 0 + 58593750 * 0 + 244140625 * 0

173525 = 1575 * 7 + 162500 * 1 + 4921875 * 0 + 58593750 * 0 + 244140625 * 0

7089500 = 1575 * 35 + 162500 * 13 + 4921875 * 1 + 58593750 * 0 + 244140625 * 0

169229875 = 1575 * 140 + 162500 * 104 + 4921875 * 19 + 58593750 * 1 + 244140625 * 0

2841940500 = 1575 * 490 + 162500 * 637 + 4921875 * 209 + 58593750 * 25 + 244140625 * 1

37027355200 = 1575 * 1541 + 162500 * 3276 + 4921875 * 1710 + 58593750 * 350 + 244140625 * 31

397125074750 = 1575 * 4480 + 162500 * 14808 + 4921875 * 11495 + 58593750 * 3575 + 244140625 * 527

3646072432125 = 1575 * 12195 + 162500 * 60541 + 4921875 * 66862 + 58593750 * 29575 + 244140625 * 6448

29454549941750 = 1575 * 31465 + 162500 * 228124 + 4921875 * 347339 + 58593750 * 209381 + 244140625 * 63240

213636919820625 = 1575 * 77525 + 162500 * 803010 + 4921875 * 1645875 + 58593750 * 1312075 + 244140625 * 526443

1412749565173450 = 1575 * 183626 + 162500 * 2667054 + 4921875 * 7221520 + 58593750 * 7443825 + 244140625 * 3852742

210626

OEISに載っている変わった数列

A027440 は何と「TV channels in Tokyo」である。
REFERENCES には

From a Tokyo kindergarten entrance examination.

と書いてある。

知識問題は、流石にプログラミングで答えが出せない。

210518

PARI


Sum_{n = 1..24} n^2 = 70^2(6)

n-gonal number であり、n-gonal pyramidal number である数について

比較的小さなもの（ただし0, 1 を除く）を出力してみた。

a(n) = for(k=2, n, if(ispolygonal(m=k*(k+1)*((n-2)*k-n+5)/6, n), print(n, ": ", [k, m])));
for(n=3, 100000, a(n))

出力結果

3: [3, 10]

10: [5, 175]

14: [6, 441]

30: [17, 23001]

43: [33, 245905]

50: [34, 314755]

88: [15, 48280]

276: [26, 801801]

322: [28, 1169686]

823: [113, 197427385]

2378: [103, 432684460]

2386: [420, 29437553530]

9525: [2169, 16195753597485]

16420: [6936, 913053565546276]

19605: [1191, 5519583702676]

31265: [259, 90525801730]

31368: [14858, 17147031694579605]

83135: [1310, 31148407558500]

210517

PARI


Sum_{n = 1..24} n^2 = 70^2(5)

n-gonal number であり、n-gonal pyramidal number である数を出力してみた。

a(n) = print1(n, ": "); for(k=0, 1e6, if(ispolygonal(m=k*(k+1)*((n-2)*k-n+5)/6, n), print1(m, ", "))); print;
for(n=3, 1000, a(n))

出力結果

3: 0, 1, 10, 120, 1540, 7140, 

4: 0, 1, 4900, 

5: 0, 1, 

6: 0, 1, 946, 

7: 0, 1, 

8: 0, 1, 1045, 5985, 123395663059845, 774611255177760, 

9: 0, 1, 

10: 0, 1, 175, 368050005576, 

11: 0, 1, 23725, 1519937678700, 7248070597636, 

12: 0, 1, 

13: 0, 1, 

14: 0, 1, 441, 195661, 

15: 0, 1, 

16: 0, 1, 

17: 0, 1, 975061, 1580765544996, 

18: 0, 1, 

19: 0, 1, 

20: 0, 1, 3578401, 

21: 0, 1, 

22: 0, 1, 

23: 0, 1, 10680265, 

24: 0, 1, 

25: 0, 1, 

26: 0, 1, 27453385, 

27: 0, 1, 

28: 0, 1, 

29: 0, 1, 63016921, 

30: 0, 1, 23001, 

31: 0, 1, 

32: 0, 1, 132361021, 

33: 0, 1, 

34: 0, 1, 

35: 0, 1, 258815701, 

36: 0, 1, 

37: 0, 1, 

38: 0, 1, 477132085, 

39: 0, 1, 

40: 0, 1, 

41: 0, 1, 55202400, 837244045, 

42: 0, 1, 

43: 0, 1, 245905, 

44: 0, 1, 1408778281, 

45: 0, 1, 

46: 0, 1, 

47: 0, 1, 2286380881, 

48: 0, 1, 

49: 0, 1, 

50: 0, 1, 314755, 3595928401, 

51: 0, 1, 

52: 0, 1, 

53: 0, 1, 5501691505, 

54: 0, 1, 

55: 0, 1, 

56: 0, 1, 8214519205, 

57: 0, 1, 

58: 0, 1, 

59: 0, 1, 12001111741, 

60: 0, 1, 1785508245600, 

61: 0, 1, 

62: 0, 1, 17194450141, 

63: 0, 1, 

64: 0, 1, 

65: 0, 1, 24205450501, 

66: 0, 1, 

67: 0, 1, 

68: 0, 1, 33535911025, 

69: 0, 1, 

70: 0, 1, 

71: 0, 1, 45792819865, 

72: 0, 1, 

73: 0, 1, 

74: 0, 1, 61704091801, 

75: 0, 1, 

76: 0, 1, 

77: 0, 1, 82135801801, 

78: 0, 1, 

79: 0, 1, 

80: 0, 1, 108110983501, 

81: 0, 1, 

82: 0, 1, 

83: 0, 1, 140830060645, 

84: 0, 1, 

85: 0, 1, 

86: 0, 1, 181692979525, 

87: 0, 1, 

88: 0, 1, 48280, 

89: 0, 1, 232323110461, 

90: 0, 1, 

91: 0, 1, 

92: 0, 1, 294592986361, 

93: 0, 1, 

94: 0, 1, 

95: 0, 1, 370651946401, 

96: 0, 1, 

97: 0, 1, 

98: 0, 1, 462955752865, 

99: 0, 1, 

100: 0, 1, 

101: 0, 1, 574298249185, 

102: 0, 1, 

103: 0, 1, 

104: 0, 1, 707845127221, 

105: 0, 1, 

106: 0, 1, 

107: 0, 1, 867169871821, 

108: 0, 1, 

109: 0, 1, 

110: 0, 1, 1056291950701, 

111: 0, 1, 

112: 0, 1, 

113: 0, 1, 1279717317685, 

114: 0, 1, 

115: 0, 1, 

116: 0, 1, 1542481297345, 

117: 0, 1, 

118: 0, 1, 

119: 0, 1, 1850193919081, 

120: 0, 1, 

121: 0, 1, 

122: 0, 1, 2209087768681, 

123: 0, 1, 

124: 0, 1, 

125: 0, 1, 2626068425401, 

126: 0, 1, 

127: 0, 1, 

128: 0, 1, 3108767552605, 

129: 0, 1, 

130: 0, 1, 

131: 0, 1, 3665598710005, 

132: 0, 1, 

133: 0, 1, 

134: 0, 1, 4305815955541, 

135: 0, 1, 

136: 0, 1, 

137: 0, 1, 5039575304941, 

138: 0, 1, 

139: 0, 1, 

140: 0, 1, 5877999117001, 

141: 0, 1, 

142: 0, 1, 

143: 0, 1, 6833243472625, 

144: 0, 1, 

145: 0, 1, 101337426, 

146: 0, 1, 7918568615665, 

147: 0, 1, 

148: 0, 1, 

149: 0, 1, 9148412523601, 

150: 0, 1, 

151: 0, 1, 

152: 0, 1, 10538467676101, 

153: 0, 1, 

154: 0, 1, 

155: 0, 1, 12105761089501, 

156: 0, 1, 

157: 0, 1, 

158: 0, 1, 13868737685245, 

159: 0, 1, 

160: 0, 1, 

161: 0, 1, 15847347060325, 

162: 0, 1, 

163: 0, 1, 

164: 0, 1, 18063133727761, 

165: 0, 1, 

166: 0, 1, 

167: 0, 1, 20539330895161, 

168: 0, 1, 

169: 0, 1, 

170: 0, 1, 23300957849401, 

171: 0, 1, 

172: 0, 1, 

173: 0, 1, 26374921015465, 

174: 0, 1, 

175: 0, 1, 

176: 0, 1, 29790118757485, 

177: 0, 1, 

178: 0, 1, 

179: 0, 1, 33577549990021, 

180: 0, 1, 

181: 0, 1, 

182: 0, 1, 37770426667621, 

183: 0, 1, 

184: 0, 1, 

185: 0, 1, 42404290220701, 

186: 0, 1, 

187: 0, 1, 

188: 0, 1, 47517132005785, 

189: 0, 1, 

190: 0, 1, 

191: 0, 1, 53149517838145, 

192: 0, 1, 

193: 0, 1, 

194: 0, 1, 59344716674881, 

195: 0, 1, 

196: 0, 1, 

197: 0, 1, 66148833516481, 

198: 0, 1, 

199: 0, 1, 

200: 0, 1, 73610946594901, 

201: 0, 1, 

202: 0, 1, 

203: 0, 1, 81783248916205, 

204: 0, 1, 

205: 0, 1, 

206: 0, 1, 90721194225805, 

207: 0, 1, 

208: 0, 1, 

209: 0, 1, 100483647464341, 

210: 0, 1, 

211: 0, 1, 

212: 0, 1, 111133039782241, 

213: 0, 1, 

214: 0, 1, 

215: 0, 1, 122735528181001, 

216: 0, 1, 

217: 0, 1, 

218: 0, 1, 135361159849225, 

219: 0, 1, 

220: 0, 1, 

221: 0, 1, 149084041261465, 

222: 0, 1, 

223: 0, 1, 

224: 0, 1, 163982512107901, 

225: 0, 1, 

226: 0, 1, 

227: 0, 1, 180139324122901, 

228: 0, 1, 

229: 0, 1, 

230: 0, 1, 197641824880501, 

231: 0, 1, 

232: 0, 1, 

233: 0, 1, 216582146624845, 

234: 0, 1, 

235: 0, 1, 

236: 0, 1, 237057400203625, 

237: 0, 1, 

238: 0, 1, 

239: 0, 1, 259169874172561, 

240: 0, 1, 

241: 0, 1, 

242: 0, 1, 283027239138961, 

243: 0, 1, 

244: 0, 1, 

245: 0, 1, 308742757412401, 

246: 0, 1, 

247: 0, 1, 

248: 0, 1, 336435498030565, 

249: 0, 1, 

250: 0, 1, 

251: 0, 1, 366230557228285, 

252: 0, 1, 

253: 0, 1, 

254: 0, 1, 398259284417821, 

255: 0, 1, 

256: 0, 1, 

257: 0, 1, 432659513748421, 

258: 0, 1, 

259: 0, 1, 

260: 0, 1, 469575801313201, 

261: 0, 1, 

262: 0, 1, 

263: 0, 1, 509159668071385, 

264: 0, 1, 

265: 0, 1, 

266: 0, 1, 551569848553945, 

267: 0, 1, 

268: 0, 1, 

269: 0, 1, 596972545420681, 

270: 0, 1, 

271: 0, 1, 

272: 0, 1, 645541689936781, 

273: 0, 1, 

274: 0, 1, 

275: 0, 1, 697459208436901, 

276: 0, 1, 801801, 

277: 0, 1, 

278: 0, 1, 752915294844805, 

279: 0, 1, 

280: 0, 1, 

281: 0, 1, 812108689316605, 

282: 0, 1, 

283: 0, 1, 

284: 0, 1, 875246963075641, 

285: 0, 1, 

286: 0, 1, 

287: 0, 1, 942546809507041, 

288: 0, 1, 

289: 0, 1, 

290: 0, 1, 1014234341580001, 

291: 0, 1, 

292: 0, 1, 

293: 0, 1, 1090545395665825, 

294: 0, 1, 

295: 0, 1, 

296: 0, 1, 1171725841819765, 

297: 0, 1, 

298: 0, 1, 

299: 0, 1, 1258031900594701, 

300: 0, 1, 

301: 0, 1, 

302: 0, 1, 1349730466454701, 

303: 0, 1, 

304: 0, 1, 

305: 0, 1, 1447099437856501, 

306: 0, 1, 

307: 0, 1, 

308: 0, 1, 1550428054066945, 

309: 0, 1, 

310: 0, 1, 

311: 0, 1, 1660017238784425, 

312: 0, 1, 

313: 0, 1, 

314: 0, 1, 1776179950632361, 

315: 0, 1, 

316: 0, 1, 

317: 0, 1, 1899241540592761, 

318: 0, 1, 

319: 0, 1, 

320: 0, 1, 2029540116447901, 

321: 0, 1, 

322: 0, 1, 1169686, 

323: 0, 1, 2167426914298165, 

324: 0, 1, 

325: 0, 1, 

326: 0, 1, 2313266677224085, 

327: 0, 1, 

328: 0, 1, 

329: 0, 1, 2467438041160621, 

330: 0, 1, 

331: 0, 1, 

332: 0, 1, 2630333928051721, 

333: 0, 1, 

334: 0, 1, 

335: 0, 1, 2802361946353201, 

336: 0, 1, 

337: 0, 1, 

338: 0, 1, 2983944798951985, 

339: 0, 1, 

340: 0, 1, 

341: 0, 1, 3175520698569745, 

342: 0, 1, 

343: 0, 1, 

344: 0, 1, 3377543790718981, 

345: 0, 1, 

346: 0, 1, 

347: 0, 1, 3590484584279581, 

348: 0, 1, 

349: 0, 1, 

350: 0, 1, 3814830389763901, 

351: 0, 1, 

352: 0, 1, 

353: 0, 1, 4051085765338405, 

354: 0, 1, 

355: 0, 1, 

356: 0, 1, 4299772970669905, 

357: 0, 1, 

358: 0, 1, 

359: 0, 1, 4561432428664441, 

360: 0, 1, 

361: 0, 1, 

362: 0, 1, 4836623195166841, 

363: 0, 1, 

364: 0, 1, 

365: 0, 1, 5125923436689001, 

366: 0, 1, 

367: 0, 1, 

368: 0, 1, 5429930916234925, 

369: 0, 1, 

370: 0, 1, 

371: 0, 1, 5749263487290565, 

372: 0, 1, 

373: 0, 1, 

374: 0, 1, 15064335000, 6084559596046501, 

375: 0, 1, 

376: 0, 1, 

377: 0, 1, 6436478791921501, 

378: 0, 1, 

379: 0, 1, 

380: 0, 1, 6805702246455001, 

381: 0, 1, 

382: 0, 1, 

383: 0, 1, 7192933280636545, 

384: 0, 1, 

385: 0, 1, 

386: 0, 1, 7598897900740225, 

387: 0, 1, 

388: 0, 1, 

389: 0, 1, 8024345342732161, 

390: 0, 1, 

391: 0, 1, 

392: 0, 1, 8470048625319061, 

393: 0, 1, 

394: 0, 1, 

395: 0, 1, 8936805111705901, 

396: 0, 1, 

397: 0, 1, 

398: 0, 1, 9425437080130765, 

399: 0, 1, 

400: 0, 1, 

401: 0, 1, 9936792303244885, 

402: 0, 1, 

403: 0, 1, 

404: 0, 1, 10471744636405921, 

405: 0, 1, 

406: 0, 1, 

407: 0, 1, 11031194614952521, 

408: 0, 1, 

409: 0, 1, 

410: 0, 1, 11616070060528201, 

411: 0, 1, 

412: 0, 1, 

413: 0, 1, 12227326696522585, 

414: 0, 1, 

415: 0, 1, 

416: 0, 1, 12865948772698045, 

417: 0, 1, 

418: 0, 1, 

419: 0, 1, 13532949699069781, 

420: 0, 1, 

421: 0, 1, 

422: 0, 1, 14229372689107381, 

423: 0, 1, 

424: 0, 1, 

425: 0, 1, 14956291412325901, 

426: 0, 1, 

427: 0, 1, 

428: 0, 1, 15714810656334505, 

429: 0, 1, 

430: 0, 1, 

431: 0, 1, 16506066998410705, 

432: 0, 1, 

433: 0, 1, 

434: 0, 1, 17331229486668241, 

435: 0, 1, 

436: 0, 1, 

437: 0, 1, 18191500330886641, 

438: 0, 1, 

439: 0, 1, 

440: 0, 1, 19088115603070501, 

441: 0, 1, 

442: 0, 1, 

443: 0, 1, 20022345947806525, 

444: 0, 1, 

445: 0, 1, 

446: 0, 1, 20995497302486365, 

447: 0, 1, 

448: 0, 1, 

449: 0, 1, 22008911627463301, 

450: 0, 1, 

451: 0, 1, 

452: 0, 1, 23063967646210801, 

453: 0, 1, 

454: 0, 1, 

455: 0, 1, 24162081595551001, 

456: 0, 1, 

457: 0, 1, 

458: 0, 1, 25304707986021145, 

459: 0, 1, 

460: 0, 1, 

461: 0, 1, 26493340372446025, 

462: 0, 1, 

463: 0, 1, 

464: 0, 1, 27729512134784461, 

465: 0, 1, 

466: 0, 1, 

467: 0, 1, 29014797269317861, 

468: 0, 1, 

469: 0, 1, 

470: 0, 1, 30350811190248901, 

471: 0, 1, 

472: 0, 1, 

473: 0, 1, 31739211541778365, 

474: 0, 1, 

475: 0, 1, 

476: 0, 1, 33181699020728185, 

477: 0, 1, 

478: 0, 1, 

479: 0, 1, 34680018209778721, 

480: 0, 1, 

481: 0, 1, 

482: 0, 1, 36235958421388321, 

483: 0, 1, 

484: 0, 1, 

485: 0, 1, 37851354552463201, 

486: 0, 1, 

487: 0, 1, 

488: 0, 1, 39528087949845685, 

489: 0, 1, 

490: 0, 1, 

491: 0, 1, 41268087286688845, 

492: 0, 1, 

493: 0, 1, 

494: 0, 1, 43073329449785581, 

495: 0, 1, 

496: 0, 1, 

497: 0, 1, 44945840437920181, 

498: 0, 1, 

499: 0, 1, 

500: 0, 1, 46887696271310401, 

501: 0, 1, 

502: 0, 1, 

503: 0, 1, 48901023912208105, 

504: 0, 1, 

505: 0, 1, 

506: 0, 1, 50988002196726505, 

507: 0, 1, 

508: 0, 1, 

509: 0, 1, 53150862777962041, 

510: 0, 1, 

511: 0, 1, 

512: 0, 1, 55391891080478941, 

513: 0, 1, 

514: 0, 1, 

515: 0, 1, 57713427266224501, 

516: 0, 1, 

517: 0, 1, 

518: 0, 1, 60117867211943125, 

519: 0, 1, 

520: 0, 1, 

521: 0, 1, 62607663498157165, 

522: 0, 1, 

523: 0, 1, 

524: 0, 1, 65185326409782601, 

525: 0, 1, 

526: 0, 1, 

527: 0, 1, 67853424948447601, 

528: 0, 1, 

529: 0, 1, 

530: 0, 1, 70614587856582001, 

531: 0, 1, 

532: 0, 1, 

533: 0, 1, 73471504653345745, 

534: 0, 1, 

535: 0, 1, 

536: 0, 1, 76426926682464325, 

537: 0, 1, 

538: 0, 1, 

539: 0, 1, 79483668172039261, 

540: 0, 1, 

541: 0, 1, 

542: 0, 1, 82644607306401661, 

543: 0, 1, 

544: 0, 1, 

545: 0, 1, 85912687310076901, 

546: 0, 1, 

547: 0, 1, 

548: 0, 1, 89290917543928465, 

549: 0, 1, 

550: 0, 1, 

551: 0, 1, 92782374613548985, 

552: 0, 1, 

553: 0, 1, 

554: 0, 1, 96390203489966521, 

555: 0, 1, 

556: 0, 1, 

557: 0, 1, 100117618642734121, 

558: 0, 1, 

559: 0, 1, 

560: 0, 1, 103967905185470701, 

561: 0, 1, 

562: 0, 1, 

563: 0, 1, 107944420033921285, 

564: 0, 1, 

565: 0, 1, 

566: 0, 1, 112050593076604645, 

567: 0, 1, 

568: 0, 1, 

569: 0, 1, 116289928358116381, 

570: 0, 1, 

571: 0, 1, 

572: 0, 1, 120666005275155481, 

573: 0, 1, 

574: 0, 1, 

575: 0, 1, 125182479785342401, 

576: 0, 1, 

577: 0, 1, 

578: 0, 1, 129843085628896705, 

579: 0, 1, 

580: 0, 1, 

581: 0, 1, 134651635563242305, 

582: 0, 1, 

583: 0, 1, 

584: 0, 1, 139612022610608341, 

585: 0, 1, 

586: 0, 1, 

587: 0, 1, 144728221318693741, 

588: 0, 1, 

589: 0, 1, 

590: 0, 1, 150004289034463501, 

591: 0, 1, 

592: 0, 1, 

593: 0, 1, 155444367191144725, 

594: 0, 1, 

595: 0, 1, 

596: 0, 1, 161052682608490465, 

597: 0, 1, 

598: 0, 1, 

599: 0, 1, 166833548806379401, 

600: 0, 1, 

601: 0, 1, 

602: 0, 1, 172791367331819401, 

603: 0, 1, 

604: 0, 1, 

605: 0, 1, 178930629099423001, 

606: 0, 1, 

607: 0, 1, 

608: 0, 1, 185255915745422845, 

609: 0, 1, 

610: 0, 1, 

611: 0, 1, 191771900995295125, 

612: 0, 1, 

613: 0, 1, 

614: 0, 1, 198483352045059061, 

615: 0, 1, 

616: 0, 1, 

617: 0, 1, 205395130956320461, 

618: 0, 1, 

619: 0, 1, 

620: 0, 1, 212512196065127401, 

621: 0, 1, 

622: 0, 1, 

623: 0, 1, 219839603404706065, 

624: 0, 1, 

625: 0, 1, 

626: 0, 1, 227382508142144785, 

627: 0, 1, 

628: 0, 1, 

629: 0, 1, 235146166029094321, 

630: 0, 1, 

631: 0, 1, 

632: 0, 1, 243135934866552421, 

633: 0, 1, 

634: 0, 1, 

635: 0, 1, 251357275983800701, 

636: 0, 1, 

637: 0, 1, 

638: 0, 1, 259815755731561885, 

639: 0, 1, 

640: 0, 1, 

641: 0, 1, 268517046989445445, 

642: 0, 1, 

643: 0, 1, 

644: 0, 1, 277466930687749681, 

645: 0, 1, 

646: 0, 1, 

647: 0, 1, 286671297343688281, 

648: 0, 1, 

649: 0, 1, 

650: 0, 1, 296136148612109401, 

651: 0, 1, 

652: 0, 1, 

653: 0, 1, 305867598850775305, 

654: 0, 1, 

655: 0, 1, 

656: 0, 1, 315871876700270605, 

657: 0, 1, 

658: 0, 1, 

659: 0, 1, 326155326678607141, 

660: 0, 1, 

661: 0, 1, 

662: 0, 1, 336724410790593541, 

663: 0, 1, 

664: 0, 1, 

665: 0, 1, 347585710152037501, 

666: 0, 1, 

667: 0, 1, 

668: 0, 1, 358745926628848825, 

669: 0, 1, 

670: 0, 1, 

671: 0, 1, 370211884491111265, 

672: 0, 1, 

673: 0, 1, 

674: 0, 1, 381990532082191201, 

675: 0, 1, 

676: 0, 1, 

677: 0, 1, 394088943502951201, 

678: 0, 1, 

679: 0, 1, 

680: 0, 1, 406514320311136501, 

681: 0, 1, 

682: 0, 1, 

683: 0, 1, 419273993236002445, 

684: 0, 1, 

685: 0, 1, 

686: 0, 1, 432375423908250925, 

687: 0, 1, 

688: 0, 1, 

689: 0, 1, 445826206605343861, 

690: 0, 1, 

691: 0, 1, 

692: 0, 1, 459634070012261761, 

693: 0, 1, 

694: 0, 1, 

695: 0, 1, 473806878997775401, 

696: 0, 1, 

697: 0, 1, 

698: 0, 1, 488352636406298665, 

699: 0, 1, 

700: 0, 1, 

701: 0, 1, 503279484865390585, 

702: 0, 1, 

703: 0, 1, 

704: 0, 1, 518595708608974621, 

705: 0, 1, 

706: 0, 1, 

707: 0, 1, 534309735316343221, 

708: 0, 1, 

709: 0, 1, 

710: 0, 1, 550430137967015701, 

711: 0, 1, 

712: 0, 1, 

713: 0, 1, 566965636711517485, 

714: 0, 1, 

715: 0, 1, 

716: 0, 1, 583925100758148745, 

717: 0, 1, 

718: 0, 1, 

719: 0, 1, 601317550275810481, 

720: 0, 1, 

721: 0, 1, 

722: 0, 1, 619152158312956081, 

723: 0, 1, 

724: 0, 1, 

725: 0, 1, 637438252732736401, 

726: 0, 1, 

727: 0, 1, 

728: 0, 1, 656185318164406405, 

729: 0, 1, 

730: 0, 1, 

731: 0, 1, 675402997971061405, 

732: 0, 1, 

733: 0, 1, 

734: 0, 1, 695101096233770941, 

735: 0, 1, 

736: 0, 1, 

737: 0, 1, 715289579752178341, 

738: 0, 1, 

739: 0, 1, 

740: 0, 1, 735978580061634001, 

741: 0, 1, 

742: 0, 1, 

743: 0, 1, 757178395466930425, 

744: 0, 1, 

745: 0, 1, 

746: 0, 1, 778899493092707065, 

747: 0, 1, 

748: 0, 1, 

749: 0, 1, 801152510950593001, 

750: 0, 1, 

751: 0, 1, 

752: 0, 1, 823948260023155501, 

753: 0, 1, 

754: 0, 1, 

755: 0, 1, 847297726364722501, 

756: 0, 1, 

757: 0, 1, 

758: 0, 1, 871212073219147045, 

759: 0, 1, 

760: 0, 1, 

761: 0, 1, 895702643154581725, 

762: 0, 1, 

763: 0, 1, 

764: 0, 1, 920780960215331161, 

765: 0, 1, 

766: 0, 1, 

767: 0, 1, 946458732090850561, 

768: 0, 1, 

769: 0, 1, 

770: 0, 1, 972747852301958401, 

771: 0, 1, 

772: 0, 1, 

773: 0, 1, 999660402404331265, 

774: 0, 1, 

775: 0, 1, 

776: 0, 1, 1027208654209348885, 

777: 0, 1, 

778: 0, 1, 

779: 0, 1, 1055405072022357421, 

780: 0, 1, 

781: 0, 1, 

782: 0, 1, 1084262314898419021, 

783: 0, 1, 

784: 0, 1, 

785: 0, 1, 1113793238915615701, 

786: 0, 1, 

787: 0, 1, 

788: 0, 1, 1144010899465975585, 

789: 0, 1, 

790: 0, 1, 

791: 0, 1, 1174928553564089545, 

792: 0, 1, 

793: 0, 1, 

794: 0, 1, 1206559662173486281, 

795: 0, 1, 

796: 0, 1, 

797: 0, 1, 1238917892550833881, 

798: 0, 1, 

799: 0, 1, 

800: 0, 1, 1272017120608035901, 

801: 0, 1, 

802: 0, 1, 

803: 0, 1, 1305871433292290005, 

804: 0, 1, 

805: 0, 1, 

806: 0, 1, 1340495130984177205, 

807: 0, 1, 

808: 0, 1, 

809: 0, 1, 1375902729913849741, 

810: 0, 1, 

811: 0, 1, 

812: 0, 1, 1412108964595385641, 

813: 0, 1, 

814: 0, 1, 

815: 0, 1, 1449128790279378001, 

816: 0, 1, 

817: 0, 1, 

818: 0, 1, 1486977385423827025, 

819: 0, 1, 

820: 0, 1, 

821: 0, 1, 1525670154183402865, 

822: 0, 1, 

823: 0, 1, 197427385, 

824: 0, 1, 1565222728917147301, 

825: 0, 1, 

826: 0, 1, 

827: 0, 1, 1605650972714682301, 

828: 0, 1, 

829: 0, 1, 

830: 0, 1, 1646970981940993501, 

831: 0, 1, 

832: 0, 1, 

833: 0, 1, 1689199088799856645, 

834: 0, 1, 

835: 0, 1, 

836: 0, 1, 1732351863915975025, 

837: 0, 1, 

838: 0, 1, 

839: 0, 1, 1776446118935895961, 

840: 0, 1, 

841: 0, 1, 

842: 0, 1, 1821498909147774361, 

843: 0, 1, 

844: 0, 1, 

845: 0, 1, 1867527536120051401, 

846: 0, 1, 

847: 0, 1, 

848: 0, 1, 1914549550359116365, 

849: 0, 1, 

850: 0, 1, 

851: 0, 1, 1962582753986019685, 

852: 0, 1, 

853: 0, 1, 

854: 0, 1, 2011645203432305221, 

855: 0, 1, 

856: 0, 1, 

857: 0, 1, 2061755212155029821, 

858: 0, 1, 

859: 0, 1, 

860: 0, 1, 2112931353371038201, 

861: 0, 1, 

862: 0, 1, 

863: 0, 1, 2165192462810561185, 

864: 0, 1, 

865: 0, 1, 

866: 0, 1, 2218557641490205345, 

867: 0, 1, 

868: 0, 1, 

869: 0, 1, 2273046258505402081, 

870: 0, 1, 

871: 0, 1, 

872: 0, 1, 2328677953842384181, 

873: 0, 1, 

874: 0, 1, 

875: 0, 1, 2385472641209757901, 

876: 0, 1, 

877: 0, 1, 

878: 0, 1, 2443450510889738605, 

879: 0, 1, 

880: 0, 1, 

881: 0, 1, 2502632032609118005, 

882: 0, 1, 

883: 0, 1, 

884: 0, 1, 2563037958430031041, 

885: 0, 1, 

886: 0, 1, 

887: 0, 1, 2624689325660590441, 

888: 0, 1, 

889: 0, 1, 

890: 0, 1, 2687607459785457001, 

891: 0, 1, 

892: 0, 1, 

893: 0, 1, 2751813977416413625, 

894: 0, 1, 

895: 0, 1, 

896: 0, 1, 2817330789263011165, 

897: 0, 1, 

898: 0, 1, 

899: 0, 1, 2884180103123354101, 

900: 0, 1, 

901: 0, 1, 

902: 0, 1, 2952384426895094101, 

903: 0, 1, 

904: 0, 1, 

905: 0, 1, 3021966571606699501, 

906: 0, 1, 

907: 0, 1, 

908: 0, 1, 3092949654469068745, 

909: 0, 1, 

910: 0, 1, 

911: 0, 1, 3165357101947555825, 

912: 0, 1, 

913: 0, 1, 

914: 0, 1, 3239212652854475761, 

915: 0, 1, 

916: 0, 1, 

917: 0, 1, 3314540361462158161, 

918: 0, 1, 

919: 0, 1, 

920: 0, 1, 3391364600636616901, 

921: 0, 1, 

922: 0, 1, 

923: 0, 1, 3469710064991903965, 

924: 0, 1, 

925: 0, 1, 

926: 0, 1, 3549601774065215485, 

927: 0, 1, 

928: 0, 1, 

929: 0, 1, 3631065075512818021, 

930: 0, 1, 

931: 0, 1, 

932: 0, 1, 3714125648326863121, 

933: 0, 1, 

934: 0, 1, 

935: 0, 1, 3798809506073158201, 

936: 0, 1, 

937: 0, 1, 

938: 0, 1, 3885143000149961785, 

939: 0, 1, 

940: 0, 1, 

941: 0, 1, 3973152823067871145, 

942: 0, 1, 

943: 0, 1, 

944: 0, 1, 4062866011750870381, 

945: 0, 1, 

946: 0, 1, 

947: 0, 1, 4154309950858606981, 

948: 0, 1, 

949: 0, 1, 

950: 0, 1, 4247512376129964901, 

951: 0, 1, 

952: 0, 1, 

953: 0, 1, 4342501377748002205, 

954: 0, 1, 

955: 0, 1, 

956: 0, 1, 4439305403726321305, 

957: 0, 1, 

958: 0, 1, 

959: 0, 1, 4537953263316939841, 

960: 0, 1, 

961: 0, 1, 

962: 0, 1, 4638474130439730241, 

963: 0, 1, 

964: 0, 1, 

965: 0, 1, 4740897547133496001, 

966: 0, 1, 

967: 0, 1, 

968: 0, 1, 4845253427028752725, 

969: 0, 1, 

970: 0, 1, 

971: 0, 1, 4951572058842281965, 

972: 0, 1, 

973: 0, 1, 

974: 0, 1, 5059884109893525901, 

975: 0, 1, 

976: 0, 1, 

977: 0, 1, 5170220629642890901, 

978: 0, 1, 

979: 0, 1, 

980: 0, 1, 5282613053252028001, 

981: 0, 1, 

982: 0, 1, 

983: 0, 1, 5397093205166158345, 

984: 0, 1, 

985: 0, 1, 

986: 0, 1, 5513693302718511625, 

987: 0, 1, 

988: 0, 1, 

989: 0, 1, 5632445959756945561, 

990: 0, 1, 

991: 0, 1, 

992: 0, 1, 5753384190292814461, 

993: 0, 1, 

994: 0, 1, 

995: 0, 1, 5876541412172154901, 

996: 0, 1, 

997: 0, 1, 

998: 0, 1, 6001951450769256565, 

999: 0, 1, 

1000: 0, 1, 

210516

Ruby


Sum_{n = 1..24} n^2 = 70^2(4)

https://www.youtube.com/watch?v=q6L06pyt9CA

この動画に出てくる内容について出力してみた。

# polygonal number
def p_k(k, n)
  n * ((k - 2) * n - k + 4) / 2
end

# Sum_{j=1..n} p_k(k, j)
def q_k(k, n)
  (1..n).inject(0){|s, i| s + p_k(k, i)}
end

def f(k, m, n)
  p k
  p [m, q_k(k, m)]
  p [n, p_k(k, n)]
end

f(4, 24, 70)
f(8, 10, 19)
f(8, 18, 45)
f(31265, 259, 2407)

出力結果

4

[24, 4900]

[70, 4900]

8

[10, 1045]

[19, 1045]

8

[18, 5985]

[45, 5985]

31265

[259, 90525801730]

[2407, 90525801730]

210501

Ruby


(1/e) * Sum_{a_1>=1, a_2>=1, ... , a_n>=1} a_1 * a_2 * ... * a_k / (a_1 + a_2 + ... + a_n)!

O. Furdui, Limits, Series and Fractional Part Integrals

の３章のOpen Problemの一つに

Sum_{a_1>=1, a_2>=1, ... , a_n>=1} a_1 * a_2 * ... * a_n / (a_1 + a_2 + ... + a_n)!

が 有理数 * e と書けるかいう問題があるが、

より一般的に、1 <= k <= n のとき、

Sum_{a_1>=1, a_2>=1, ... , a_n>=1} a_1 * a_2 * ... * a_k / (a_1 + a_2 + ... + a_n)!

が 有理数 * e と書ける。

この有理数すなわち

(1/e) * Sum_{a_1>=1, a_2>=1, ... , a_n>=1} a_1 * a_2 * ... * a_k / (a_1 + a_2 + ... + a_n)!

を出力してみた。

def f(n)
  return 1 if n < 2
  (1..n).inject(:*)
end

def ncr(n, r)
  return 1 if r == 0
  (n - r + 1..n).inject(:*) / (1..r).inject(:*)
end

def A(k, n)
  (0..k - 1).inject(0){|s, i| s + ncr(k - 1, i) / f(i + n).to_r}
end

n = 6
(1..n).each{|i|
  p [i, (1..i).map{|j| A(j, i)}]
}

出力結果

[1, [(1/1)]]

[2, [(1/2), (2/3)]]

[3, [(1/6), (5/24), (31/120)]]

[4, [(1/24), (1/20), (43/720), (179/2520)]]

[5, [(1/120), (7/720), (19/1680), (529/40320), (787/51840)]]

[6, [(1/720), (1/630), (73/40320), (187/90720), (8501/3628800), (6631/2494800)]]

210403

Ruby


Number of tilings of a <n,k,n> hexagon

一般化された二項係数を利用し計算してみた。

def ncr(n, r)
  return 1 if r == 0
  (n - r + 1..n).inject(:*) / (1..r).inject(:*)
end

# generalized binomial coefficient (n,r)_m
def g_ncr_m(n, r, m = 1)
  # to_rとto_iは念のため
  (1..r).inject(1){|s, i| s * ncr(n - i + m, m) / ncr(i - 1 + m, m).to_r}.to_i
end

n = 10
(0..n).each{|i|
  p [i, (0..5).map{|j| g_ncr_m(i + j, i, i)}]
}

出力結果

[0, [1, 1, 1, 1, 1, 1]]

[1, [1, 2, 3, 4, 5, 6]]

[2, [1, 6, 20, 50, 105, 196]]

[3, [1, 20, 175, 980, 4116, 14112]]

[4, [1, 70, 1764, 24696, 232848, 1646568]]

[5, [1, 252, 19404, 731808, 16818516, 267227532]]

[6, [1, 924, 226512, 24293412, 1447482465, 55197331332]]

[7, [1, 3432, 2760615, 877262100, 142174944340, 13710834632352]]

[8, [1, 12870, 34763300, 33803832920, 15484613937936, 3940599631842016]]

[9, [1, 48620, 449141836, 1371597504992, 1832516612010448, 1274867710694037824]]

[10, [1, 184756, 5924217936, 58043512597616, 232187445047217296, 454924095627897307776]]

210306

Ruby


チェビシェフ多項式の明示的な式を利用した計算

T_n(n+k), U_n(n+k)の値を、

明示的な式を利用し計算してみた。

def ncr(n, r)
  return 1 if r == 0
  (n - r + 1..n).inject(:*) / (1..r).inject(:*)
end

# n >= 0, m = 1 or 2
def chebyshev(n, m, k)
  if m == 2
    return (0..n).inject(0){|s, i| s + (2 * k - 2) ** i * ncr(n + 1 + i, 2 * i + 1)}
  elsif m == 1
    if n == 0
      return 1
    else
      return (n * (0..n).inject(0){|s, i| s + (2 * k - 2) ** i * ncr(n + i, 2 * i) / (n + i.to_r)}).to_i
    end
  end
end

K = 5
N = 9
(0..K).each{|k|
  p [k, (0..N).map{|i| chebyshev(i, 1, i + k)}]
}
(0..K).each{|k|
  p [k, (0..N).map{|i| chebyshev(i, 2, i + k)}]
}

出力結果

[0, [1, 1, 7, 99, 1921, 47525, 1431431, 50843527, 2081028097, 96450076809]]

[1, [1, 2, 17, 244, 4801, 120126, 3650401, 130576328, 5374978561, 250283080090]]

[2, [1, 3, 31, 485, 10081, 262087, 8193151, 299537289, 12545596801, 592479412811]]

[3, [1, 4, 49, 846, 18817, 514088, 16692641, 628855930, 26986755841, 1300371936876]]

[4, [1, 5, 71, 1351, 32257, 930249, 31521799, 1229215691, 54276558337, 2678768828749]]

[5, [1, 6, 97, 2024, 51841, 1580050, 55989361, 2265463212, 103182433537, 5228741809214]]

[0, [1, 2, 15, 204, 3905, 96030, 2883167, 102213944, 4178507265, 193501094490]]

[1, [1, 4, 35, 496, 9701, 241956, 7338631, 262184896, 10783446409, 501827040100]]

[2, [1, 6, 63, 980, 20305, 526890, 16451071, 600940872, 25154396001, 1187422368110]]

[3, [1, 8, 99, 1704, 37829, 1032240, 33489287, 1260879920, 54085723209, 2605282707576]]

[4, [1, 10, 143, 2716, 64769, 1866294, 63202399, 2463542488, 108742564225, 5365498355074]]

[5, [1, 12, 195, 4064, 104005, 3168060, 112211527, 4538833824, 206671502025, 10470873504140]]

210223

PARI


Number of perfect matchings in the graph C_{2n} X C_k

kが3以上のとき、計算してみた。

a341533(n, k) = round(sqrt(prod(a=1, n,   prod(b=1, k,   4*sin((2*a-1)*Pi/(2*n))^2+4*sin((2*b-1)*Pi/k)^2))));
a341738(n, k) = round(sqrt(prod(a=1, n,   prod(b=1, k-1, 4*sin((2*a-1)*Pi/(2*n))^2+4*sin(2*b*Pi/k)^2))));
a341739(n, k) = round(     prod(a=1, n-1, prod(b=1, k,   4*sin(a*Pi/n)^2          +4*sin((2*b-1)*Pi/(2*k))^2)));
T(n, k) = a341533(n, k)/2+a341738(n, k)+2*((k+1)%2)*a341739(n, ceil(k/2));

K=7;
for(n=2, 10, for(k=3, K, print1(T(n, k), ", ")); print)

出力結果

50, 272, 722, 3108, 10082, 

224, 3108, 9922, 90176, 401998, 

1058, 39952, 155682, 3113860, 19681538, 

5054, 537636, 2540032, 114557000, 1034315998, 

24200, 7379216, 41934482, 4357599552, 55820091938, 

115934, 102144036, 694861522, 169094614280, 3044533460992, 

555458, 1418981392, 11527389122, 6640849944580, 166779871224962, 

2661344, 19742287908, 191304901282, 262671237617216, 9152970837103102, 

12751250, 274848860432, 3175220160032, 10433179552323108, 502711247500143362, 

210117

Python


Number of spanning trees of odd Aztec diamond OD_n

Graphillion を使って計算してみた。

from graphillion import GraphSet

def make_OD_nk(n, k):
    n += 1
    k += 1
    grids = []
    s = k * n
    for i in range(1, k * n, k):
        for j in range(1, k):
            a, b = i + j - 1, i + j
            c = s + a
            if i > 1:
                grids.extend([(c - k, a), (c - k, b)])
            if i < k * (n - 1) + 1:
                grids.extend([(c, a), (c, b)])
    return grids

def A340425(n, k):
    universe = make_OD_nk(n, k)
    GraphSet.set_universe(universe)
    spanning_trees = GraphSet.trees(is_spanning=True)
    return spanning_trees.len()

print([A340425(n, n) for n in range(1, 6)])

出力結果

[1, 192, 4542720, 12116689944576, 3544863978266468352000]