150801(2)

Ruby


ラマヌジャン予想(4)

「数学の微笑み」山下純一 著 P.294 において、

100000 以下の素数 p について小さいものから順に |τ(p)| / p^5.5 を計算し、

それがそれまでの計算値をこえるごとに記録した

結果が載っているので、ラマヌジャン予想(3)で使ったコードを用いて確認してみた。

（実行時間は1時間45分ほどかかる。）

require 'prime'

# m次以下を取り出す

def mul(f_ary, b_ary, m)

  s1, s2 = f_ary.size, b_ary.size

  ary = Array.new(s1 + s2 - 1, 0)

  s10 = [s1 - 1, m].min

  (0..s10).each{|i|

    s20 = [s2 - 1, m - i].min

    (0..s20).each{|j|

      ary[i + j] += f_ary[i] * b_ary[j]

    }

  }

  ary

end

# m次以下を取り出す

def power(ary, n, m)

  return [1] if n == 0

  k = power(ary, n >> 1, m)

  k = mul(k, k, m)

  return k if n & 1 == 0

  return mul(k, ary, m)

end

def A000594(n)

  ary = Array.new(n + 1, 0)

  # ヤコビの公式の必要なところだけ取り出す

  i = 0

  j, k = 2 * i + 1, i * (i + 1) / 2

  while k <= n

    i & 1 == 1? ary[k] = -j : ary[k] = j

    i += 1

    j, k = 2 * i + 1, i * (i + 1) / 2

  end

  # 8乗してx倍

  power(ary, 8, n).unshift(0)[1..n]

end

# |t(p)| / p^5.5 の最大値

def ramanujan_conjecture(ary)

  max = 0

  r_max_ary = []

  p_ary = Prime.each(ary.size).to_a

  p_ary.each{|p|

    t = ary[p - 1]

    u = t.abs / p ** 5.5

    if max < u

      r_max_ary.push([p, t, u])

      max = u

    end

  }

  r_max_ary

end

ary = A000594(100000)

p ramanujan_conjecture(ary)

出力結果

[[2, -24, 0.5303300858899106], [3, 252, 0.5987336124929452], [5, 4830, 0.6912133

33204735], [11, 534612, 1.0008729094970374], [17, -6905934, 1.1796504994162533],

 [47, 2687348496, 1.7091720053051764], [103, -225755128648, 1.9188140482390927],

 [3371, 49278699535832155572, 1.9497821915448013], [3967, 120752806116171238016,

 1.9514396698133158], [7451, -3875535882287120935548, 1.9550220658949324], [7589

, 4299215878259436627390, 1.9605332515011487], [16033, 264220524653668368557282,

 1.9696324533790046], [18047, -507583894904594239461504, 1.9736958734327261], [3

2233, -12353847812192420408840518, 1.977644573320766], [39089, -3573992494827103

7246368110, 1.9808589644591574], [53593, -203122840455721231884215158, 1.9845606

903237616], [58189, 320344277397080839676063990, 1.990636920097253], [64849, 581

810639436172985553940850, 1.992111303823014], [74471, 12477466757753983133296476

72, 1.996167133105195]]