150802

Python


ラマヌジャン予想(5)

ラマヌジャン予想(4)において、
100000 以下の素数 p について小さいものから順に |τ(p)| / p^5.5 を計算し、
それがそれまでの計算値をこえるごとに記録した
結果を確認してみた。

今回は、Pythonで確認してみる。
（実行時間は1時間15分ほどかかる。）

# -*- coding: cp932 -*-

import numpy

import math

# m次以下のみにする

def mth_degree_poly(p, m, type):

    return numpy.poly1d(numpy.array(list(p)[- m - 1:], dtype = type))

def power(f, n, m, type):

    p = numpy.poly1d(numpy.array([1L], dtype = type))

    for i in format (n, 'b'):

        p *= p

        p = mth_degree_poly(p, m, type)

        if i == '1':

            # fがリストでも答えが出る

            p *= f

            p = mth_degree_poly(p, m, type)

    return p

def A000594(n, type):

    ary = [0] * (n + 1)

    i = 0

    j, k = 2 * i + 1, i * (i + 1) / 2

    while k <= n:

        ary[k] = -j if i % 2 == 1 else j

        i += 1

        j, k = 2 * i + 1, i * (i + 1) / 2

    return list(reversed((power(list(reversed(ary)), 8, n - 1, type)).c))

    

def prime_ary(n):

    ary = [True for i in xrange(n + 1)]

    i = 2

    while i * i <= n:

        if ary[i]:

            j = i + i

            while j <= n:

                # jはiの倍数

                ary[j] = False

                j += i

        i += 1

    p_ary = [i for i in xrange(n + 1) if ary[i] and i >= 2]

    return p_ary

# |t(p)| / p^5.5 の最大値

def ramanujan_conjecture(ary):

    max = 0

    r_max_ary = []

    p_ary = prime_ary(len(ary))

    for p in p_ary:

        t = ary[p - 1]

        u = math.fabs(t) / p ** 5.5

        if max < u:

            r_max_ary.append([p, t, u])

            max = u

    return r_max_ary

N = 100000

type = numpy.object

ary = A000594(N, type)

print ramanujan_conjecture(ary)

出力結果

[[2, -24L, 0.5303300858899106], [3, 252L, 0.5987336124929452], [5, 4830L, 0.6912

13333204735], [11, 534612L, 1.0008729094970374], [17, -6905934L, 1.1796504994162

533], [47, 2687348496L, 1.7091720053051764], [103, -225755128648L, 1.91881404823

90927], [3371, 49278699535832155572L, 1.9497821915448013], [3967, 12075280611617

1238016L, 1.9514396698133158], [7451, -3875535882287120935548L, 1.95502206589493

24], [7589, 4299215878259436627390L, 1.9605332515011487], [16033, 26422052465366

8368557282L, 1.9696324533790046], [18047, -507583894904594239461504L, 1.97369587

34327261], [32233, -12353847812192420408840518L, 1.977644573320766], [39089, -35

739924948271037246368110L, 1.9808589644591574], [53593, -20312284045572123188421

5158L, 1.9845606903237616], [58189, 320344277397080839676063990L, 1.990636920097

253], [64849, 581810639436172985553940850L, 1.992111303823014], [74471, 12477466

75775398313329647672L, 1.996167133105195]]