160227(3)

Ruby


φ(n) / (x^n - 1) の和(1)

数学発想ゼミナールの5.2.6 を言い換えることで以下のことが言える。

|x| > 1 とする。このとき、

(1 / (x - 1))^2 = φ(2) / (x^2 - 1) + φ(3) / (x^3 - 1) + φ(4) / (x^4 - 1) + …

証明は次の通り。

(p, q) = 1, p + q = n を満たす(p, q) がφ(n) 個あるので、

φ(2) / (x^2 - 1) + φ(3) / (x^3 - 1) + φ(4) / (x^4 - 1) + …

= Σ(p, q) 1 / (x^(p + q) - 1)　（ただし、(p, q) = 1）
また、

Σ(p, q) 1 / (x^(p + q) - 1)　（ただし、(p, q) = 1）

= Σ(p, q) (1 / x^(p + q) + 1 / x^(2p + 2q) + 1 / x^(3p + 3q) + …)　（ただし、(p, q) = 1）

= ΣΣ 1 / x^(i + j)　（{(np, nq) | (p, q) = 1, n は自然数} = {(i, j) | i, j は自然数} を利用）

= (1 / (x - 1))^2

このことを確認してみた。

def phi(n)
  (1..n).count{|i| i.gcd(n) == 1}
end

def f(x, n)
  s = 0
  ary = []
  # mは2以上
  (2..n).each{|m|
    s += phi(m).to_r / (x ** m - 1)
    ary << s
  }
  ary
end

(2..11).each{|i| p f(i, 15)}

出力結果
[(1/3), (13/21), (79/105), (2869/3255), (8917/9765), (1191049/1240155), (20578541/21082635), (1520304323/1539032355), (16789542493/16929355905), (34537487042221/34654391537535), (449427387314429/450507089987955), (3686665814572343399/3690103574091339405), (158584741893919291187/158674453685927594415), (23952145775426455461197/23959842506575066756665)]
[(1/8), (21/104), (59/260), (7659/31460), (27109/110110), (29960467/120350230), (4925551611/19737437720), (3733197362847/14941240354040), (227786779796287/911415661596440), (20180315525204510651/80726819394581480120), (1473207388735201025589/5893057815804448048760), (1174418833558436411447845389/4697715861504489610997570360), (642410325457742053171036613673/2569650576242955817215670986920), (2930040028807106686854654805314713/11720176278244121482320675371342120)]
[(1/15), (31/315), (569/5355), (201169/1826055), (875597/7912905), (4797461027/43212374205), (411208441701/3701860056895), (5134172652055553/46210319090220285), (1052541530773316201/9473115413495158425), (1471590943767082471129051/13244372132722994489150925), (118218059484889671444570557/1063964561328747223961790975), (2644497441890682492018461715012797/23800483994355331804827382591970475), (8666019860381680780534706315495770559/77994186049502422324419332753887246575), (1299409103057383018169917200017414308044737/11694682238820541710590408011116115413195225)]
[(1/24), (43/744), (295/4836), (235231/3776916), (1237501/19828809), (48398750489/774552937158), (60605165778089/969740277321816), (954638889087324443/15274379108095923816), (497370120791770489759/7957951515317976308136), (6071432377857675208314065869/97142960843983511650681704216), (3648931815638219269371510870755/58382919467234090502059704233816), (1113565791801899980681971715311759886103/17817053045473267478790752348183804410296), (14499740403113737813854294481157989403318117/231995847705107415841334386325701317226464216), (4569172714734103591681577878983892427079997916069/73106763524681153987337133153341324785720630210136)]
[(1/35), (57/1505), (439/11137), (3457773/86590175), (107306033/2684295425), (6010964024081/150285647959475), (7796684542006677/194920485403439075), (365459434178932090251/9136507912315399762475), (406026102866255183166409/10150660290582409136109725), (29461035175921469031070024244549/736525931945748453877140477371975), (5307195294785902673992542021229347/132679885740512685762724877423722925), (13863131083041005729347823776800932877986661/346578277920399575594559303331925325113158775), (3880803333421651855290854924692256338761424139547/97020083386202895993214147696829179736202327997175), (5457849267149117256084869282436863874484766683758490889/136446231691937553040872574110537350334782604227715001925)]
[(1/48), (73/2736), (941/34200), (2658541/95794200), (4766137/171631275), (654357297484/23557593912675), (4191481309901571/150894241541987600), (1483704304399834621409/53413392726791228660400), (3117264332660818182542009/112221538118988371415500400), (1027308541511400166303977681518113/36983108058508014131149555705282800), (805752341108212294866787598989106309/29007084420556452416864968191510142800), (13011424551729575942680458844104482425243827509/468411284045169099754678958834014204433957662800), (1339435078055280063621486777471460777383479738344037/48219662813461842636045916059249924247044903681620400), (1048143408423116818241640109915856361410487809642437192469/37733162703659953510434662531930318497622966793318060634800)]
[(1/63), (13/657), (6061/298935), (28542361/1399314735), (232503301/11394419985), (487662896715361/23895819265962735), (1997978229302434469/97901171532649325295), (524784117298408504680203/25714428011251073834008815), (1910739319868400890524411543/93626232388965159829626095415), (2344732387769102038146063591342334009/114891887460425199016335551943082142895), (9456305746843831033145461450278446210621/463358982127894827632881280986450282295535), (742665581111536213806675594978940850161586038034321/36390613477367529727321746610221873308920392941584935), (173053705725435103925981965130153452653554984740055251247/8479631580655749674471331429874070252824703202069296798895), (2545488663486864852054954069925439556905824319673012037038732287/124728944511076359997470361592892298999729490152708985315475088695)]
[(1/80), (111/7280), (2321/149240), (17205921/1101540440), (628167427/40206226060), (187796621208731/12019068290359130), (4929315028287479481/315476504485346444240), (2623241107999857166068231/167887446868471302577645040), (15490239880033878611909171347/991375373758323041720993961200), (60762518866414456420373552741504032997/3888801212226651794795797800178154901200), (393801885130182303012979684015840268733867/25203320656440930282071565542954621914677200), (125123944405749824204878182253902289084200553089713847/8007932442125052244980092329577261637208377789841965200), (59846407238441479722721412614131480869534890279204772387649/3830170063271086113617243220959815509291855471748042429264400), (2293132452151182328974366845052801892581129339828453920449065291089/146760476937725739043113477425031633436731163728606343588469273488400)]
[(1/99), (133/10989), (13655/1109889), (152213989/12331976679), (4617905807/374069959263), (5131255319094419/415633246506671193), (1555086385339056959/125962063585249048521), (4669931350019075330796499/378264454832693648455708563), (466997820063987052757732662247/37826823747724197539219312008563), (5188864709355549436994583840459487491487/420298041637176992241578555924120076443493), (1556816651635599352021175081477753884397455/126102148795445133338905129763779178086879521), (1729796279763073609900606312832486580673158042573128533/140113498661591692360028428056050319526559047869101457831), (17297964527511083969683438804723773275311254899914643434381547/1401135126729415585191976640588931251315910005250062447411457831), (4675172299701990466589192004979871259522638909132846842838333136016727/378688956275890916762370302398522920185761159319379986097550862248501563)]
[(1/120), (157/15960), (971/97356), (78384487/7839591900), (4350830231/435097350450), (8478797893673897/847881603476872650), (248293580841626988203/24829364876216738682600), (440198063431226969906280599/44019807183490522493210761800), (5907898300420519275273058095751/590789832209626302381381634117800), (168559233979485634204812569303611949375611/16855923400713006805622901539012129153785800), (2447648636928069408960397815141711525100884341/244764863701753571824450153247995127442123601800), (8449946932508755159902810607113000554046108238672855842173/844994693252389928766019879162951091907166846608893160707400), (13722130772077556071023915236349958931506735062219725071681696673/1372213077208046829410931428388970329631897364380426479360728789400), (140846435394735573677517666529787382906712878478021416485606326104601259/14084643539473849124923274023881501276336755777412846491922492940073406600)]